_francesca.ricci
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Determinare le condizioni di esistenza della seguente equazione:

[math] x^2 - (2^{k+1} - 1) x - 2^{k+1} + 1 = 0 [/math]

Svolgimento

Affinch lequazione abbia significato necessario che sia
[math] ? ?0 [/math]
, quindi:

[math] b^2 - 4ac ?0 [/math]

[math] [- (2^{k+1} - 1)]^2 -4 \cdot (- 2^{k+1} + 1) ?0 [/math]

[math] (2^{k+1})^2 + 1 - 2 \cdot 2^{k+1} -4 -4 \cdot (- 2^{k+1}) ?0 [/math]

[math] 2^{2k+2} + 1 - 2^{k+1+1} -2^2 -2^2 \cdot (- 2^{k+1}) ?0 [/math]

[math] 2^{2k+2} + 1 - 2^{k+2} -2^2 + 2^{2+k+1} ?0 [/math]

[math] 2^{2k+2} - 2^{k+2} + 2^{k+3} -3 ?0 [/math]

Scomponiamo le potenze:

[math] 2^{2k} \cdot 2^2 - 2^k \cdot 2^2 + 2^k \cdot 2^3 - 3 ?0 [/math]

Effettuiamo un cambio di variabile, ponendo

[math] 2^k = y [/math]
:

[math] y^2 \cdot 2^2 - y \cdot 2^2 + y \cdot 2^3 - 3 ?0 [/math]

[math] 4y^2 - 4y + 8y - 3 ?0 [/math]

[math] 4y^2 + 4y - 3 ?0 [/math]

Passiamo allequazione associata e risolviamo con la formula ridotta

[math]x = frac(-b/2 \sqrt{(b/2)^2 - ac})(a) [/math]
:

[math] 4y^2 + 4y - 3 = 0 [/math]

[math]y = frac(-4/2 \sqrt{(4/2)^2 - 4 \cdot (-3)})(4) = frac(-2 \sqrt(4 + 12))(4) = [/math]

[math] frac(-2 \sqrt{16})(4) = frac(-2 4)(4) [/math]

[math] y_1 = frac(-2 + 4)(4) = 1/2 , y_2 = frac(-2 - 4)(4) = -3/2 [/math]

Poich la disequazione maggiore o uguale a zero, prendiamo come soluzioni gli intervalli esterni alle radici:

[math] y ?-3/2 ? y ?1/2[/math]

Sapendo che

[math] 2^k = y [/math]
, abbiamo che:

[math] 2^k ?-3/2 ? 2^k ?1/2[/math]

Analizziamo i singoli intervalli:

[math] 2^k ?-3/2 [/math]
IMPOSSIBILE

la disequazione impossibile, poich se la base positiva, una potenza non pu mai essere negativa.

Ricordiamo anche il grafico della funzione esponenziale, per il quale lasse delle ascisse asintoto orizzontale.

[math] 2^k ?1/2 o 2^k ?2^{-1} o k ?- 1 [/math]