Determinare le soluzioni della seguente equazione frazionaria:
[math] [ frac(x - 3)(x + 2) - frac(x + 2)(x - 3) ] : frac(20x^2 - 5)(x^2 - x - 6) + frac(1)(2x) = frac(3)(4x^2 + 4x + 1) [/math]
Svolgimento
Scomponiamo in fattori i denominatori dove possibile:
[math] [ frac(x - 3)(x + 2) - frac(x + 2)(x - 3) ] : frac(20x^2 - 5)((x + 2)(x - 3)) + frac(1)(2x) = frac(3)((2x + 1)^2) [/math]
Determiniamo le condizioni di esistenza:
[math] C.E.[/math]
[math] x + 2 ? 0 o x ? -2 [/math]
[math] x - 3 ? 0 o x ? 3 [/math]
[math] (2x + 1)^2 ? 0 o x ? - 1/2 [/math]
Procediamo svolgendo le operazioni allinterno della parentesi quadra:
[math] [ frac((x - 3)(x - 3) - (x + 2)(x + 2))((x + 2)(x - 3)) ] : frac(5 (4x^2 - 1))((x + 2)(x - 3)) + frac(1)(2x) = frac(3)((2x + 1)^2) [/math]
[math] [ frac((x - 3)^2 - (x + 2)^2)((x + 2)(x - 3)) ] : frac(5 (2x - 1)(2x + 1))((x + 2)(x - 3)) + frac(1)(2x) = frac(3)((2x + 1)^2) [/math]
Svolgiamo i quadrati:
[math] [ frac(x^2 + 9 - 6x - (x^2 + 4 + 4x))((x + 2)(x - 3)) ] : frac(5 (2x - 1)(2x + 1))((x + 2)(x - 3)) + frac(1)(2x) = frac(3)((2x + 1)^2) [/math]
[math] [ frac((x^2 + 9 - 6x - x^2 - 4 - 4x))((x + 2)(x - 3)) ] : frac(5 (2x - 1)(2x + 1))((x + 2)(x - 3)) + frac(1)(2x) = frac(3)((2x + 1)^2) [/math]
[math] [ frac(5 - 10x)((x + 2)(x - 3)) ] : frac(5 (2x - 1)(2x + 1))((x + 2)(x - 3)) + frac(1)(2x) = frac(3)((2x + 1)^2) [/math]
[math] [ frac(5(1 - 2x))((x + 2)(x - 3)) ] : frac(5 (2x - 1)(2x + 1))((x + 2)(x - 3)) + frac(1)(2x) = frac(3)((2x + 1)^2) [/math]
Cambiamo segno alla prima frazione:
[math] [ - frac(5( - 1 + 2x))((x + 2)(x - 3)) ] : frac(5 (2x - 1)(2x + 1))((x + 2)(x - 3)) + frac(1)(2x) = frac(3)((2x + 1)^2) [/math]
Calcoliamo il quoziente delle prime due frazioni, moltiplicando la prima per il reciproco della seconda:
[math] [ - frac(5( - 1 + 2x))((x + 2)(x - 3)) ] \cdot frac((x + 2)(x - 3))(5 (2x - 1)(2x + 1)) + frac(1)(2x) = frac(3)((2x + 1)^2) [/math]
[math] - frac(1)(2x + 1) + frac(1)(2x) = frac(3)((2x + 1)^2) [/math]
Calcoliamo il minimo comune multiplo:
[math] frac(- 2x(2x + 1) + (2x + 1)^2 - 3 \cdot 2x )(2x(2x + 1)^2) = 0[/math]
Possiamo eliminare il denominatore perch abbiamo posto le condizioni di esistenza:
[math] - 2x(2x + 1) + (2x + 1)^2 - 3 \cdot 2x = 0[/math]
[math] - 4x^2 - 2x + 4x^2 + 1 + 4x- 6x = 0[/math]
[math] 1 - 4x= 0 o x = 1/4 [/math]
![Equazioni 1°, 2°, parametriche, di grado superiore: [math]\frac{{{7}{x}+{2}}}{{{2}{x}-{3}}}+\frac{{{5}{x}+{4}}}{{x}}=\frac{{{34}{x}^{2}+{43}{x}-{2}}}{{{4}{x}^{2}-{9}}}+\frac{{{10}-{x}}}{{{2}{x}^{2}-{3}{x}}}[/math]](https://cdn.skuola.net/shared/thumb/159x141/news_foto/2017/10/equ_e2.jpg)
