_francesca.ricci
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Determina le soluzioni della seguente equazione fratta:

[math] frac(x + 5)(5x - x^2) + frac(x - 5)(x^2 + 5x) = frac(20)(x^3 - 25x) [/math]

Svolgimento

Fattorizziamo i denominatori e determiniamo le condizioni di esistenza:

[math] frac(x + 5)(x ( 5- x)) + frac(x - 5)(x (x + 5)) = frac(20)( x (x^2 - 25)) [/math]

[math] frac(x + 5)(x ( 5- x)) + frac(x - 5)(x (x + 5)) = frac(20)( x(x + 5)(x - 5)) [/math]

[math]C.E.[/math]

[math] x ? 0 [/math]

[math] x - 5 ? 0 o x ? 5 [/math]

[math] x + 5 ? 0 o x ? - 5 [/math]

Portiamo tutto al primo membro:

[math] frac(x + 5)(x ( 5- x)) + frac(x - 5)(x (x + 5)) - frac(20)( x(x + 5)(x - 5)) = 0 [/math]

Cambiamo segno al denominatore della prima frazione e calcoliamo il minimo comune multiplo:

[math] - frac(x + 5)(x ( - 5 + x)) + frac(x - 5)(x (x + 5)) - frac(20)( x(x + 5)(x - 5)) = 0 [/math]

[math] frac(-(x + 5)(x + 5) + (x - 5)(x - 5) - 20 )( x(x + 5)(x - 5)) = 0 [/math]

Avendo posto le condizioni di esistenza, possiamo eliminare i denominatori:

[math] - (x + 5)^2 + (x - 5)^2 - 20 = 0 [/math]

[math] - (x^2 + 25 + 10x) + (x^2 + 25 - 10x) - 20 = 0 [/math]

[math] - x^2 - 25 - 10x + x^2 + 25 - 10x - 20 = 0 [/math]

[math] - 20x - 20 = 0 o x = - 1[/math]