_francesca.ricci
di _francesca.ricci
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Nell’equazione
[math]2 k^2 x^2 - 3kx + 1 = 0 [/math]
determina il valore del parametro
[math]k[/math]
in modo che:
  1. Una soluzione sia uguale a zero;
  2. Le radici siano reciproche, cioè il prodotte delle radici sia
    [math]1[/math]
    ;
  3. La somma delle radici sia
    [math] 1/2 [/math]
    .

Svolgimento

Per prima cosa, affinché l’equazione abbia significato è necessario che sia
[math]∆ \geq 0 [/math]
, quindi:

[math] b^2 - 4ac > 0 [/math]

[math](-3k)^2 - 4 \cdot 2k^2 > 0 [/math]

[math] 9k^2 - 8k^2 > 0 [/math]

[math] k^2 > 0 \to \forall; k \in ℜ[/math]

Svolgimento (a)

Affinché una soluzione sia uguale a zero, deve essere che
[math]x = 0[/math]
, quindi:

[math] 2k^2 \cdot 0^2 - 3k \cdot 0 + 1 = 0 \to 1 = 0 [/math]

Non è possibile, quindi, che una delle soluzioni sia uguale a zero.

Svolgimento (b)

In questo caso abbiamo che
[math]x_1 = \frac{1}{x_2} [/math]
, cioè
[math]x_1 \cdot x_2 = 1 [/math]

Sappiamo che il prodotto delle radici è

[math]c/a[/math]
, quindi:

[math] c/a = 1 \to \frac{1}{2k^2} = 1 [/math]

Poniamo

[math] k \ne 0 [/math]
e calcoliamo il minimo comune multiplo:

[math] 1 = 2k^2 \to k^2 = 1/2 \to k = ± \sqrt\{1/2\} = ± \frac{\sqrt2}{2} [/math]

Svolgimento (c)

In questo caso, ricordiamo che la somma delle radici si trova con la formula
[math]- b/a[/math]
:

[math] - b/a = 1/2 \to - \frac{-3k}{2k^2} = 1/2 [/math]

Poniamo

[math]k \ne 0[/math]
e calcoliamo il minimo comune multiplo:

[math]3k = k^2 \to k^2 - 3k = 0 [/math]

Raccogliamo e troviamo le soluzioni con la legge dell’annullamento del prodotto:

[math](k - 3)k = 0 \to k = 0 ∨ k = 3[/math]

Poiché

[math]k[/math]
non può essere uguale a zero, prendiamo come soluzione solo
[math]k=3[/math]
.
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