Nellequazione
[math]4x^2 + 4hx - 2h - 1 = 0 [/math]
determina il valore del parametro [math]h[/math]
per cui- Le radici sono coincidenti;
- La somma dei reciproci delle radici [math]1[/math];
- Il prodotto dei reciproci delle radici [math]-2[/math];
- La somma dei quadrati delle radici [math]5/4[/math].
Svolgimento
Per prima cosa, affinch lequazione abbia significato necessario che sia[math] ??0 [/math]
, quindi:
[math] b^2 - 4ac ?0[/math]
[math](4h)^2 - 4 \cdot 4 \cdot (-2h-1) ?0[/math]
[math]16h^2 + 32h + 16 ?0[/math]
[math] h^2 + 2h + 1 ?0[/math]
[math] (h + 1)^2 ?0 o ? h ? ?[/math]
Se le radici sono coincidenti, abbiamo che
[math] x_1 = x_2 [/math]
.In questo caso dobbiamo porre
[math]? = 0 [/math]
[math] b^2 - 4ac = 0[/math]
[math](4h)^2 - 4 \cdot 4 \cdot (-2h-1) = 0[/math]
[math]16h^2 + 32h + 16 = 0[/math]
[math] h^2 + 2h + 1 = 0[/math]
[math] (h + 1)^2 = 0 o h = -1 [/math]
Svolgimento (b)
Se la somma dei reciproci delle radici[math]1[/math]
, abbiamo che [math]frac(1)(x_1) + frac(1)(x_2) = 1 [/math]
; calcoliamo il minimo comune multiplo, ponendo [math]x_1 , x_2 ?0 [/math]
:
[math]x_1 + x_2 = x_1 \cdot x_2 [/math]
Sapendo che la somma delle radici data dalla formula
[math]- b/a[/math]
e il loro prodotto [math]c/a[/math]
, possiamo scrivere che:
[math] - b/a = c/a [/math]
Quindi:
[math] - frac(4h)(4) = frac(-2h - 1)(4) [/math]
[math]- 4h = - 2h - 1 o -2h + 1 = 0 o h = 1/2 [/math]
Svolgimento (c)
c. Se il prodotto dei reciproci delle radici[math]-2[/math]
, abbiamo che [math]frac(1)(x_1) \cdot frac(1)(x_2) = -2 [/math]
, quindi [math]frac(1)(x_1 \cdot x_2) = -2 [/math]
.Sapendo che il prodotto delle radici
[math]c/a[/math]
, possiamo scrivere che:
[math] frac(1)(c/a) = -2 o a/c = -2[/math]
[math]frac(4)(-2h - 1) = -2[/math]
Poniamo
[math]- 2h - 1 ?0 o h ?- 1/2 [/math]
e calcoliamo il minimo comune multiplo:
[math] 4 = 4h + 2 o h = 1/2 [/math]
Svolgimento (d)
Se il prodotto la somma dei quadrati delle radici[math]5/4[/math]
, abbiamo che [math]x_1 ^2 + x_2 ^2 = 5/4 [/math]
. Possiamo scrivere la somma dei quadrati in questo modo:
[math] x_1 ^2 + x_2 ^2 = (x_1 + x_2)^2 - 2 x_1 \cdot x_2 [/math]
Quindi:
[math] (x_1 + x_2)^2 - 2 x_1 \cdot x_2 = 5/4[/math]
Sapendo che la somma delle radici data dalla formula
[math]- b/a[/math]
e il loro prodotto [math]c/a[/math]
, possiamo scrivere che:
[math] (- b/a)^2 - 2 c/a = 5/4[/math]
Quindi:
[math] (- (4h)/4)^2 - 2 frac(-2h -1)(4) = 5/4[/math]
[math] h^2 + frac( 2h +1)(2) = 5/4[/math]
Calcoliamo il minimo comune multiplo:
[math] 4h^2 + 4h + 2 = 5 o 4h^2 + 4h + 2 - 5 = 0[/math]
[math] 4h^2 + 4h - 3= 0[/math]
troviamo le soluzioni con la formula ridotta
[math] k = frac(-b/2 \sqrt{(b/2)^2 - ac})(a) [/math]
:
[math] y^2 = frac( - 4/2 \sqrt{ (4/2)^2 - (-3) \cdot 4})(4) = frac( - 2 \sqrt( 4 + 12))(4) = [/math]
[math] frac( - 2 \sqrt{16})(4) = frac( - 2 4 )(4) [/math]
[math] k_1 = frac( - 2 + 4 )(4) = 1/2 , k_2 = frac( - 2 - 4 )(4) = - 3/2 [/math]
