Risolvere la seguente equazione parametrica e discutere il risultato in funzione dei valori assunti dal parametro a:
[math] a (x - 1)^2 = a (a^2 + x^2 + 1) - 1[/math]
Svolgimento
Svolgiamo i calcoli esplicitando il quadrato ed effettuando le moltiplicazioni:
[math] a (x^2 + 1 - 2x) = a^3 + ax^2 + a - 1[/math]
[math] ax^2 + a - 2ax = a^3 + ax^2 + a - 1[/math]
Portiamo tutto a primo membro:
[math] ax^2 + a - 2ax - a^3 - ax^2 - a + 1 = 0[/math]
[math] - 2ax - a^3 + 1 = 0[/math]
[math] - 2ax = a^3 - 1 [/math]
Determiniamo il valore di x dipendente dal parametro a:
[math]x = frac(a^3 - 1)(- 2a)[/math]
Studiamo i casi in cui il denominatore si annulla:
[math] - 2a = 0 o a = 0 [/math]
Di conseguenza:
[math] a = 0 o x = frac(0^3 - 1)(-2 \cdot 0) = frac(-1)(0)[/math]
Lequazione impossibile;
[math] a ? 0 o x = frac(a^3 - 1)(- 2a)[/math]
