Calcolare
[math]\displaystyle{\lim_{x \to 0}}\frac{\sin(\sin x)}{x}[/math]
E' opportuno, in questo caso, trasformare il limite in un altro equivalente:
[math]\displaystyle{\lim_{x \to 0}}\frac{\sin(\sin x)}{x}=\displaystyle{\lim_{x \to 0}}\frac{\sin(\sin x)}{\sin x} \cdot \frac{\sin x}{x}[/math]
dove si è fatto comparire
[math]\sin x[/math]
a numeratore e denominatore. Ora, la seconda frazione tende a 1 per il famoso limite notevole,
Ma anche la prima frazione tende ad uno, infatti possiamo vedere
[math]\sin x[/math]
come un generico termine che tende a zero. In altre parole e più formalmente, possiamo porre
[math]\sin x=y[/math]
e avremmo dunque che
[math]\frac{\sin(\sin x)}{\sin x}=\frac{\sin y}{y}[/math]
, espressione che tende ad 1 giacché y tende a 0 se x tende a 0. Il risultato è dunque
[math]1 \cdot 1=1[/math]
FINE
