_stan
di _stan
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Per la risoluzione dellesercizio ricordiamo lo sviluppo fondamentale della funzione seno nel punto

[math]x=0[/math]
:

[math] \\sin(z) = z - frac(z^3)(6) + frac(z^5)(120) - + frac((-1)^n z^{2n+1})({2n+1}!) + o(z^{2n+1}) [/math]

In questo caso, possibile e?ettuare la sostituzione

[math] z = x^2 + x^3[/math]
, in quanto per x tendente a zero, si ha che
[math] x = x^2 + x^3 [/math]
, e quindi anche che
[math] o(z) = o(x^2 + x^3) [/math]
.

Essendo largomento della funzione seno di terzo grado, per poter raggiungere uno sviluppo allottavo ordine, sar su?ciente sviluppare la funzione

[math]\\sin(z)[/math]
?no al terzo ordine:

[math] \\sin(z) = z - frac(z^3)(6) + o(z^3) [/math]

E?ettuiamo ora la sostituzione:

[math] \\sin((x^2 + x^3)) = (x^2 + x^3) - frac((x^2 + x^3)^3)(6) + o((x^2 + x^3)^3) [/math]

Svolgiamo i calcoli:

[math] \\sin((x^2 + x^3)) = x^2 + x^3 - frac( (x^2)^3 + (x^3)^3 + 3 (x^2)^2 \cdot x^3 + 3 x^2 \cdot (x^3)^2 )(6) + o((x^2 + x^3)^4) [/math]

[math] \\sin((x^2 + x^3)) = x^2 + x^3 - frac( x^6 + x^9 + 3 x^7 + 3 x^8 )(6) + o((x^2 + x^3)^4) [/math]

Senza svolgere la quarta potenza allinterno dello-piccolo, possiamo facilmente vedere che la potenza di grado minore che comparir come argomento sar proprio quella di quarto grado; quindi possiamo direttamente scrivere

[math] o((x^2 + x^3)^4) = o(x^8) [/math]
:

[math] \\sin((x^2 + x^3)) = x^2 + x^3 - 1/6 x^6 - 1/6 x^9 - 1/2 x^7 - 1/2 x^8 + o(x^8) [/math]

Di conseguenza, possiamo eliminare tutti i termini che presentano potenze di x maggiori di 8, in quanto essi verranno inglobati allinterno dello-piccolo di ottavo ordine:

[math] \\sin((x^2 + x^3)) = x^2 + x^3 - 1/6 x^6 - 1/2 x^7 - 1/2 x^8 + o(x^8) [/math]

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