Per lo svolgimento di questo esercizio, non possiamo avvalerci degli sviluppi di Taylor fondamentali, in quanto la funzione di partenza una funzione composta, e lo sviluppo richiesto centrato in un punto diverso da zero.
Dobbiamo procedere, quindi, calcolando le derivate di ordine primo, secondo, terzo e quarto della funzione, e calcolare il valore da esse assunto nel punto
[math] x = 1[/math]
.
In questo caso, quindi, occorre applicare fedelmente la formula del polinomio di Taylor:
[math] T_n (f , x) = f(x_0) + f(x_0) (x - x_0) + frac(f(x_0))(2!) (x - x_0)^2 + + frac(f^n(x_0))(n!) (x -x_0)^n [/math]
Calcoliamo quindi il valore della funzione in 1, ovvero
[math] f(x_0)[/math]
:
[math] f(1) = 1^{\\log(1)} = 1^0 = 1 [/math]
Procediamo calcolando la derivata prima della funzione; sempli?chiamo i calcoli trasformando la funzione nel seguente modo:
[math] f(x) = x^{\\log(x)} = e^{\\log(x) \cdot \\log(x)} = e^{\\log^2(x)} [/math]
Quindi abbiamo:
[math] f(x) = frac(d)(dx) e^{\\log^2(x)} = e^{\\log^2(x)} \cdot frac(2 \\log(x) )(x)[/math]
Calcoliamo il valore che la derivata prima assume in
[math] x = 1[/math]
:
[math] f(1) = e^{\\log^2(1)} \cdot frac(2 \\log(1) )(1) = 0 [/math]
Procediamo ora con la derivata seconda:
[math] f(x) = frac(d)(dx) e^{\\log^2(x)} \cdot frac(2 \\log(x) )(x) = [e^{\\log^2(x)} \cdot frac(2 \\log(x) )(x) \cdot frac(2 \\log(x) ) (x) ] + [e^{\\log^2(x)} \cdot frac(2(1-\\log(x)))(x^2)] [/math]
Svolgiamo tutti i calcoli e sempli?chiamo:
[math] f(x) = [ 4 e^{\\log^2(x)} \cdot frac(\\log^2(x) )(x^2) ] + [2e^{\\log^2(x)} \cdot frac(1-\\log(x))(x^2)] [/math]
Possiamo e?ettuare un raccoglimento totale:
[math] f(x) = 2e^{\\log^2(x)} [ 2 frac(\\log^2(x) )(x^2) + frac(1-\\log(x))(x^2)] = 2 frac(e^{\\log^2(x)})(x^2) [ 2 \\log^2(x) - \\log(x) +1] [/math]
Calcoliamo il valore della derivata seconda nel punto
[math] x = 1[/math]
:
[math] f(1) = 2 frac(e^{\\log^2(1)})(1^2) [ 2 \\log^2(1) - \\log(1) +1] = 2 [/math]
Proseguiamo con la derivata terza della funzione:
[math] f(x) = frac(d)(dx) {2 frac(e^{\\log^2(x)})(x^2) [ 2 \\log^2(x) - \\log(x) +1]} = [/math]
[math] [4 e^{\\log^2(x)} \cdot frac(\\log(x) - 1)(x^3) ][ 2 \\log^2(x) - \\log(x) +1] + 2 frac(e^{\\log^2(x)})(x^2) \cdot [4 frac(\\log(x))(x) - 1/x ] [/math]
Svolgiamo i calcoli e sempli?chiamo; per agevolare i calcoli e?ettuiamo un raccoglimento totale:
[math] f(x) = e^{\\log^2(x)} {[4 \cdot frac(\\log(x) - 1)(x^3) ][ 2 \\log^2(x) - \\log(x) +1] + 2 frac(1)(x^2) \cdot [4 frac(\\log(x))(x) - 1/x ]} = [/math]
[math] e^{\\log^2(x)} {[4 \cdot frac(\\log(x) - 1)(x^3) ][ 2 \\log^2(x) - \\log(x) +1] + 2 frac(1)(x^3) \cdot [4 \\log(x) - 1 ]} = [/math]
[math] frac(e^{\\log^2(x)})(x^3) {[4 (\\log(x) - 1) ][ 2 \\log^2(x) - \\log(x) +1] + 2 [4 \\log(x) - 1 ]} = [/math]
[math] frac(e^{\\log^2(x)})(x^3) { (4\\log(x) - 4) (2 \\log^2(x) - \\log(x) +1) + 8 \\log(x) - 2 } = [/math]
[math] 2 frac(e^{\\log^2(x)})(x^3) { (2\\log(x) - 2) (2 \\log^2(x) - \\log(x) +1) + 4 \\log(x) - 1 } = [/math]
[math] 2 frac(e^{\\log^2(x)})(x^3) ( 4 \\log^3(x) - 6 \\log^2(x) + 8 \\log(x) - 3) [/math]
Calcoliamo il valore della derivata terza nel punto
[math] x = 1[/math]
:
[math] f(1) = 2 frac(e^{\\log^2(1)})(1^3) ( 4 \\log^3(1) - 6 \\log^2(1) + 8 \\log(1) - 3) = - 6 [/math]
Procediamo con lultima derivata, quella di ordine quarto:
[math] f^{4}(x) = frac(d)(dx) [2 frac(e^{\\log^2(x)})(x^3) ( 4 \\log^3(x) - 6 \\log^2(x) + 8 \\log(x) - 3)] = [/math]
[math] [2 frac(e^{\\log^2(x)})(x^4) \cdot (2\\log(x) - 3) ] \cdot ( 4 \\log^3(x) - 6 \\log^2(x) + 8 \\log(x) - 3) + 2 frac(e^{\\log^2(x)})(x^3) \cdot [ 12 frac{\\log^2(x)}(x) - 12 frac(\\log(x))(x) + 8/x ][/math]
Sempli?chiamo, e?ettuando anche raccoglimenti:
[math] [2 frac(e^{\\log^2(x)})(x^4) \cdot (2\\log(x) - 3) ] \cdot ( 4 \\log^3(x) - 6 \\log^2(x) + 8 \\log(x) - 3) + 2 frac(e^{\\log^2(x)})(x^4) \cdot [ 12 \\log^2(x) - 12 \\log(x) + 8 ] = [/math]
[math] 2 frac(e^{\\log^2(x)})(x^4) \cdot [ (2\\log(x) - 3) \cdot ( 4 \\log^3(x) - 6 \\log^2(x) + 8 \\log(x) - 3) + (12 \\log^2(x) - 12 \\log(x) + 8) ] = [/math]
[math] 2 frac(e^{\\log^2(x)})(x^4) \cdot [ 8 \\log^4(x) - 12 \\log^3(x) + 16 \\log^2(x) - 6 \\log(x) - 12 \\log^3(x) + 18 \\log^2(x) - 24 \\log(x) + 9 + 12 \\log^2(x) - 12 \\log(x) + 8 ] = [/math]
[math] 2 frac(e^{\\log^2(x)})(x^4) \cdot [ 8 \\log^4(x) - 24 \\log^3(x) + 46 \\log^2(x) - 42 \\log(x) + 17 ] [/math]
Calcoliamo il valore della derivata quarta nel punto
[math] x = 1[/math]
:
[math] f^{4}(1) = 2 frac(e^{\\log^2(1)})(1^4) \cdot [ 8 \\log^4(1) - 24 \\log^3(1) + 46 \\log^2(1) - 42 \\log(1) + 17 ] = 34[/math]
Possiamo in?ne determinare lo sviluppo di Taylor della funzione di partenza, applicando la formula del polinomio di Taylor al quarto ordine:
[math] T_4 (f , 1) = f(1) + f(1) (x - 1) + frac(f(1))(2) (x - 1)^2 + frac(f(1))(6) (x - 1)^3 + frac(f^{4}(1))(24) (x -1)^4 = [/math]
[math] T_4 (f , 1) = 1 + 0 (x - 1) + frac(2)(2) (x - 1)^2 + frac(-6)(6) (x - 1)^3 + frac(34)(24) (x - 1)^4 = [/math]
[math] 1 + (x - 1)^2 - (x - 1)^3 + frac(17)(12) (x - 1)^4 [/math]
Potrebbe interessarti anche
