Dato che lesercizio richiede lo sviluppo in serie di Taylor della funzione nel punto
[math]x_0=0[/math]
, possiamo avvalerci degli sviluppi fondamentali della funzione seno e della funzione logaritmo; ricordiamo che gli sviluppi fondamentali sono i seguenti:
[math] \\sin(z) = z - frac(z^3)(6) + frac(z^5)(120) - + frac((-1)^n z^{2n+1})({2n+1}!) + o(z^{2n+1}) [/math]
[math] \\log(1+z) = z - frac(z^2)(2) + frac(z^3)(3) + + (-1)^{n+1} frac(z^n)(n) + o(z^n) [/math]
Cominciamo dallo sviluppo della prima funzione; poich la funzione seno elevata al quadrato, per ottenere uno sviluppo al sesto ordine della funzione di partenza, occorre sviluppare
[math]\\sin(z)[/math]
al quinto ordine, ottenendo il seguente sviluppo:
[math] \\sin(z) = z - frac(z^3)(6) + frac(z^5)(120) + o(z^5) [/math]
In questo caso, la sostituzione sar semplicemente
[math] z = x[/math]
; quindi avremo:
[math] \\sin(x) = x - frac(x^3)(6) + frac(x^5)(120) + o(x^5) [/math]
Allinterno della nostra funzione, tale espressione elevata al quadrato e moltiplicata per un fattore 6:
[math] 6 (\\sin(x))^2 = 6 (x - frac(x^3)(6) + frac(x^5)(120) + o(x^5))^2 [/math]
Procediamo quindi al calcolo del quadrato, ricordando le propriet algebriche dello-piccolo:
[math] 6 (\\sin(x))^2 = 6 (x^2 + frac(x^6)(36) + frac(x^10)(120^2) - frac(x^4)(3) + frac(x^6)(60) - frac(x^8) (360) + o(x^6)) [/math]
Come sappiamo, possiamo eliminare tutte le potenze di grado maggiore a 6, in quanto esse vengono inglobate allinterno di
[math]o(x^6)[/math]
; quindi abbiamo:
[math] 6 (\\sin(x))^2 = 6 (x^2 + frac(x^6)(36) - frac(x^4)(3) + frac(x^6)(60) + o(x^6)) = [/math]
[math] 6 x^2 + frac(x^6)(6) - 2x^4 + frac(x^6)(10) + o(x^6) = 6 x^2 - 2x^4 + frac(4 x^6)(15) + o(x^6) [/math]
Procediamo con lo stesso ragionamento determinando lo sviluppo del logaritmo; questa volta, per, considerando il grado dellargomento, possiamo fermare lo sviluppo di
[math]\\log(z)[/math]
al terso ordine:
[math] \\log(1+z) = z - frac(z^2)(2) + frac(z^3)(3) + o(z^3) [/math]
E?ettuiamo ora la sostituzione
[math] z = x^2[/math]
, tenendo presente che per
[math]x o 0[/math]
si ha che
[math] x = x^2[/math]
, e quindi possiamo a?ermare che
[math] o(z) = o(x^2) [/math]
:
[math] \\log(1+ x^2) = x^2 - frac((x^2)^2)(2) + frac((x^2)^3)(3) + o((x^2)^3) = [/math]
[math] x^2 - frac(x^4)(2) + frac(x^6)(3) + o(x^6) [/math]
Possiamo quindi determinare lo sviluppo della funzione di partenza:
[math] f(x) = 6 \\sin^2(x) + \\log(1 + x^2) = [/math]
[math]6 x^2 - 2x^4 + frac(4 x^6)(15) + o(x^6) + x^2 - frac(x^4)(2) + frac(x^6)(3) + o(x^6) = [/math]
[math] 7 x^2 - frac(5 x^4)(2) + frac(3 x^6)(5) + o(x^6) [/math]
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