Per la risoluzione dellesercizio possiamo avvalerci degli sviluppi fondamentali delle funzioni esponenziale e seno, in quanto lo sviluppo richiesto della funzione di partenza centrato nel punto
[math]x_0=0[/math]
.
Ricordiamo lo sviluppo fondamentale della funzione seno:
[math] \\sin(z) = z - frac(z^3)(6) + frac(z^5)(120) - + frac((-1)^n z^{2n+1})({2n+1}!) + o(z^{2n+1}) [/math]
e della funzione esponenziale:
[math] e^z = 1 + z + frac(z^2)(2) + frac(z^3)(6) + + frac(z^n)(n!) + o(z^n) [/math]
Possiamo inizialmente concentrarci sullespressione
[math]e^{\\sin(x^2)} [/math]
, e svilupparla al sesto ordine; in questo modo, in quanto moltiplicata per
[math]x[/math]
nella funzione di partenza, otterremo un settimo ordine totale.
Possiamo quindi cominciare provando a sviluppare la funzione seno al terso ordine:
[math] \\sin(z) = z - frac(z^3)(6) + o(z^3) [/math]
Poich nella nostra funzione largomento del seno
[math]x^2[/math]
, necessario apportare la sostituzione
[math] z=x^2[/math]
.
Possiamo e?ettuare tale sostituzione in quanto, al tendere di x a zero, si ha che
[math] x = x^2[/math]
, e quindi possiamo a?ermare che
[math] o(z) = o(x)[/math]
.
Abbiamo quindi:
[math] \\sin(x^2) = x^2 - frac((x^2)^3)(6) + o((x^2)^3) = x^2 - frac( x^6 )(6) + o( x^6 ) [/math]
A questo punto, sviluppiamo la funzione esponenziale al terzo ordine (questo necessario, perch altrimenti se ci fermassimo al primo o al secondo ordine, non sarebbe possibile raggiungere un sesto ordine complessivo, a causa delle propriet algebriche dello-piccolo):
[math] e^z = 1 + z + frac(z^2)(2) + frac(z^3)(6) + o(z^3) [/math]
In questo caso, quindi, la sostituzione da e?ettuare la seguente, valida per il ragionamento e?ettuato in precedenza:
[math] z = x^2 - frac( x^6 )(6) + o( x^6 ) [/math]
Procediamo con i calcoli:
[math] e^{\\sin(x^2)} = 1 + (x^2 - frac( x^6 )(6) + o( x^6 )) + frac((x^2 - frac( x^6 )(6) + o( x^6 ))^2)(2) + frac((x^2 - frac( x^6 )(6) + o( x^6 ))^3)(6) + o((x^2 - frac( x^6 )(6) + o( x^6 ))^3) [/math]
Sempli?chiamo lespressione:
[math] e^{\\sin(x^2)} = 1 + x^2 - frac( x^6 )(6) + o( x^6 ) + 1/2 x^4 + frac(x^{12})(72) - frac(x^8)(6) + 1/6 x^6 - frac(x^{10}){12} + frac(x^{14}){12} - frac(x^{18})(6^4) + o( x^6 ) [/math]
Possiamo tralasciare tutti i termini che presentano potenze maggiori di 6, in quanto essi, per le propriet dello-piccolo, vengono considerate allinterno di
[math]o( x^6 ) [/math]
; lespressione diventa quindi:
[math] e^{\\sin(x^2)} = 1 + x^2 - frac( x^6 )(6) + 1/2 x^4 + 1/6 x^6 + o( x^6 ) = [/math]
[math] 1 + x^2 + 1/2 x^4 + o( x^6 ) [/math]
Possiamo quindi procedere determinando lo sviluppo al settimo ordine della funzione di partenza:
[math] f(x) = x \cdot e^{\\sin(x^2)} = x \cdot (1 + x^2 + 1/2 x^4 + o( x^6 )) = x + x^3 + 1/2 x^5 + o( x^7 ) [/math]
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