Risolvere la seguente equazione goniometrica:
[math]\\sin^2 (x + ?/4) - \\sin(x - ?/4) \\cos(x + 3/4 ?) = 0 [/math]
Svolgimento
Applichiamo le formule di addizione o sottrazione del seno e del coseno:
[math] (\\sinx \\cos(?/4) + \\cosx \\sin(?/4))^2 - (\\sinx \\cos(?/4) - \\cosx \\sin(?/4)) (\\cosx \\cos(3/4 ?) - \\sinx \\sin(3/4 ?)) = 0 [/math]
Sostituiamo i valori degli angoli noti:
[math] (\\sinx \cdot (\sqrt2)/2 + \\cosx \cdot {\sqrt2}/2)^2 - (\\sinx \cdot {\sqrt2}/2 - \\cosx \cdot {\sqrt2}/2) (\\cosx \cdot ( - {\sqrt2}/2) - \\sinx \cdot {\sqrt2}/2 ) = 0 [/math]
[math] (frac(\sqrt2 \\sinx){2} + frac(\sqrt2 \\cosx){2} )^2 - (frac(\sqrt2 \\sinx){2} - frac(\sqrt2 \\cosx){2})(- frac(\sqrt2 \\cosx){2} - frac(\sqrt2 \\sinx){2}) = 0 [/math]
Cambiamo segno ai prodotti:
[math] (frac(\sqrt2 \\sinx){2} + frac(\sqrt2 \\cosx){2} )^2 - (frac(\sqrt2 \\sinx){2} - frac(\sqrt2 \\cosx){2})(frac(\sqrt2 \\cosx){2} + frac(\sqrt2 \\sinx){2}) = 0 [/math]
Notiamo che il prodotto una somma per una differenza e pu essere scritto in questo modo:
[math] (frac(\sqrt2 \\sinx){2} + frac(\sqrt2 \\cosx){2} )^2 + (frac(\sqrt2 \\sinx){2})^2 - (frac(\sqrt2 \\cosx){2})^2 = 0 [/math]
Svolgiamo i quadrati:
[math] (frac(\sqrt2 \\sinx){2})^2 + (frac(\sqrt2 \\cosx){2})^2 + 2 \cdot frac(\sqrt2 \\sinx){2} \cdot frac(\sqrt2 \\cosx){2} + (frac(\sqrt2 \\sinx){2})^2 - (frac(\sqrt2 \\cosx){2})^2 = 0 [/math]
[math] frac(2 \\sin^2 x)(4) + frac(2 \\cos^2 x)(4) + frac(2 \\sinx \\cosx)(2) + frac(2 \\sin^2 x)(4) + frac(2 \\cos^2 x)(4) = 0 [/math]
[math] frac(2 \\sin^2 x)(4) + \\sinx \\cosx + frac(2 \\sin^2 x)(4) = 0 [/math]
[math] frac(\\sin^2 x)(2) + \\sinx \\cosx + frac(\\sin^2 x)(2) = 0 [/math]
[math] 2 \cdot frac(\\sin^2 x)(2) + \\sinx \\cosx = 0 [/math]
[math] \\sin^2 x + \\sinx \\cosx = 0 [/math]
Raccogliamo:
[math] \\sin x ( \\sin x + \\cosx ) = 0 [/math]
Risolviamo con la legge dellannullamento del prodotto:
[math] \\sin x = 0 o x = k? [/math]
[math] \\sin x = - \\cosx o x = - ?/4 + k? [/math]
