Dopo aver determinato quali valori può assumere il parametro reale
[math]k[/math]
affinché abbia significato la relazione
[math] \\cos(x) = frac(2 - k)(k) [/math]
determinare:
- quali valori può assumere
[math]k[/math]
se [math] x ∈ [ π ; 3/2 π] [/math]
;
- se
[math] x ∈ [ π ; 3/2 π ) [/math]
qual è l'espressione di [math]tg(x)[/math]
in funzione di [math]k[/math]
;
- quali valori può assumere
[math]k[/math]
se [math] x ∈ [ - π/2 ; 0 ) [/math]
e qual è l'espressione di [math]cotg(x)[/math]
in funzione di [math]k[/math]
.
Svolgimento (0)
Sapendo che il seno di un angolo è un valore compreso tra
[math]-1[/math]
e
[math]1[/math]
, sappiamo che
[math]\\cos(x)[/math]
deve essere compreso in questo intervallo; quindi:
[math] -1 ≤ \\cos(x) ≤ 1 [/math]
[math] -1 ≤ frac(2 - k)(k) ≤ 1 [/math]
Determiniamo le condizioni di esistenza, risolvendo la disequazione scomponendola e mettendola a sistema:
[math][/math]
left{ \begin{array}{rl}
frac{2 - k}{k} ≥ - 1 &\
frac{2 - k}{k} ≤ 1 &
end{array}\right.
[math][/math]
Risolviamo la prima disequazione:
[math] frac(2 - k)(k) ≥ - 1 [/math]
[math] frac(2 - k)(k) + 1 ≥ 0 [/math]
[math] frac(2 - k + k)(k) ≥ 0 [/math]
[math] frac(2)(k) ≥ 0 [/math]
[math] N ≥ 0 \to 2 ≥ 0 ∀ k ∈ ℜ [/math]
[math] D > 0 \to k > 0 [/math]
Studiamo il segno:
Prendiamo come soluzioni gli intervalli positivi:
[math] k > 0[/math]
Passiamo ora alla seconda disequazione:
[math] frac(2 - k)(k) ≤ 1 [/math]
[math] frac(2 - k)(k) - 1 ≤ 0 [/math]
[math] frac(2 - k - k)(k) ≤ 0 [/math]
[math] frac(2 - 2k)(k) ≤ 0 [/math]
[math] N ≥ 0 \to 2 - 2k ≥ 0 \to k ≤ 1 [/math]
[math] D > 0 \to k > 0 [/math]
Prendiamo come soluzioni gli intervalli negativi:
[math] k
Passiamo al sistema:
[math][/math]
left{ \begin{array}{rl}
k > 0 &\
k
end{array}\right.
[math][/math]
Affinché la relazione abbia significato deve essere che
[math] k ≥ 1 [/math]
.
Svolgimento (1)
Poiché in questo caso abbiamo un intervallo di
[math]x[/math]
, cioè
[math] x ∈ [π ; 3/2 π ] [/math]
, troviamo i valori di
[math]\\cos(x )[/math]
in questi angolo, che sono gli estremi dell'intervallo:
[math] x = π \to \\cos(x) = \\cos(180°) = -1 [/math]
[math] x = 3/2 π \to \\cos(x) = \\cos(3/2 π) = \\cos(270°) = 0 [/math]
Abbiamo quindi che
[math]\\cos(x)[/math]
deve essere compreso nell'intervallo fra
[math]-1[/math]
e
[math]0[/math]
:
[math] -1 ≤ \\cos(x) ≤ 0 [/math]
[math] -1 ≤ frac(2 - k)(k) ≤ 0 [/math]
Risolviamo la disequazione come fatto in precedenza:
[math][/math]
left{ \begin{array}{rl}
frac{2 - k}{k} ≥ - 1 &\
frac{2 - k}{k} ≤ 0 &
end{array}\right.
[math][/math]
Risolviamo la prima disequazione.
[math] frac(2 - k)(k) ≥ - 1 [/math]
[math] frac(2 - k)(k) + 1 ≥ 0 [/math]
[math] frac(2 - k + k)(k) ≥ 0 [/math]
[math] frac(2)(k) ≥ 0 [/math]
[math] N ≥ 0 \to 2 ≥ 0 ∀ k ∈ ℜ [/math]
[math] D > 0 \to k > 0 [/math]
Studiamo il segno:
Prendiamo come soluzioni gli intervalli positivi:
[math] k > 0[/math]
Passiamo alla seconda:
[math] frac(2 - k)(k) ≤ 0 [/math]
[math] N ≥ 0 \to 2 - k ≥ 0 \to k ≤ 2 [/math]
[math] D > 0 \to k > 0 [/math]
Studiamo il segno:
Prendiamo come soluzioni gli intervalli negativi:
[math]k
Mettiamo a sistema le soluzioni ottenute:
[math][/math]
left{ \begin{array}{rl}
k > 0 &\
k
end{array}\right.
[math][/math]
Determiniamo le soluzioni:
[math] k ≥ 2 [/math]
Svolgimento (2)
Essendo
[math]x ∈ [ π ; 3/2 π ) [/math]
sappiamo che l'angolo appartiene al terzo quadrante, poiché abbiamo che
[math]π = 180°[/math]
e
[math]3/2 π = 270° [/math]
.
La tangente di quest'angolo, che ha seno e coseno negativi, è positiva, quindi abbiamo che:
[math] tg(x) = frac(\\sin (x))(\\cos(x)) [/math]
Determiniamo il seno dell'angolo:
[math] \\sin (x) = - \sqrt{1 - \\cos^2(x)} = - \sqrt(1 - (frac(2 - k)(k))^2) = - \sqrt(1 - frac(4 + k^2 - 4k)(k^2)) = [/math]
[math] - \sqrt{ frac(k^2 - 4 - k^2 + 4k)(k^2) } = - \sqrt(frac(- 4 + 4k)(k^2)) [/math]
Avendo posto come condizione di esistenza
[math]k >= 1[/math]
, possiamo portate il quadrato fuori radice:
[math] - \sqrt{frac(- 4 + 4k)(k^2)} = - frac(\sqrt(4(k - 1)))(k) = - frac(2 \sqrt(k - 1))(k) [/math]
Troviamo ora la tangente dell'angolo:
[math] tg(x) = frac(\\sin (x))(\\cos(x)) = frac(- frac(2 \sqrt{k - 1})(k))(frac(2 - k)(k)) = [/math]
[math] - frac(2 \sqrt{k - 1})(k) \cdot frac(k)(2 - k) = - frac(2 \sqrt{k - 1})(2 - k) = frac(2 \sqrt{k - 1})(k - 2) [/math]
Svolgimento (3)
Essendo
[math]x ∈ [ - π/2 ; 0 ) [/math]
, troviamo i valori di
[math]\\cos(x)[/math]
in questi angolo, che sono gli estremi dell'intervallo:
[math] x = - π/2 \to \\cos(x) = \\cos(270°) = 0 [/math]
[math] x = 0 \to \\cos(x) = \\cos(0°) = 1 [/math]
Abbiamo quindi che
[math]\\cos(x)[/math]
deve essere compreso nell'intervallo fra
[math]0[/math]
e
[math]1[/math]
:
[math] 0 ≤ \\cos(x) ≤ 1 [/math]
[math] 0 ≤ frac(2 - k)(k) ≤ 1 [/math]
Risolviamo impostando un sistema:
[math][/math]
left{ \begin{array}{rl}
frac{2 - k}{k} ≥ 0 &\
frac{2 - k}{k} ≤ 1 &
end{array}\right.
[math][/math]
Risolviamo la prima disequazione:
[math] frac(2 - k)(k) ≥ 0[/math]
[math] N ≥ 0 \to 2 - k ≥ 0 \to k ≤ 2 [/math]
[math] D > 0 \to k > 0[/math]
Prendiamo come soluzioni gli intervalli positivi:
[math] 0
Passiamo alla seconda:
[math] frac(2 - k)(k)
[math] frac(2 - k)(k) - 1
[math] frac(2 - k - k)(k)
[math] frac(2 - 2k)(k)
[math] N > 0 \to 2 - 2k > 0 \to k
[math] D > 0 \to k > 0 [/math]
Prendiamo come soluzioni gli intervalli negativi:
[math] k 1 [/math]
Mettiamo a sistema le soluzioni:
[math][/math]
left{ \begin{array}{rl}
0
k 1&
end{array}\right.
[math][/math]
Determiniamo le soluzioni:
[math] 1
Considerando l'intervallo in cui è compresa
[math]x[/math]
, sappiamo che l'angolo si trova nel quarto quadrante, con coseno positivo e seno negativo:
[math] \\cos(x) = frac(2 - k)(k) , \\sin (x) = - frac(2 \sqrt{k - 2})(k) [/math]
Determiniamo
[math]cotg(x)[/math]
in funzione di
[math]k[/math]
:
[math] cotg(x) = frac(\\cos(x))(\\sin (x)) = frac(frac(2 - k)(k))(- frac(2 \sqrt{k - 1})(k)) = [/math]
[math] frac(2 - k)(k) \cdot (- frac(k)(2 \sqrt{k - 1})) = - frac(2 - k)(2 \sqrt{k - 1}) = frac(k - 2)(2 \sqrt{k - 1}) [/math]
