[math] (\frac{1}{\tan(\alpha)} + \frac{1}{\cot(\alpha)}) \cdot (\sin(\alpha) + \cos(\alpha))^2 = \frac{1}{\sin(\alpha) \cos(\alpha)} + 2 [/math]
Svolgimento
Per prima cosa, determiniamo le condizioni di esistenza:[math]C.E.[/math]
[math] \exists \tan(\alpha) \to \alpha \ne \frac{\pi}{2} + k\pi [/math]
[math] \exists \cot(\alpha) \to \alpha \ne \pi + k\pi [/math]
[math] \cos(\alpha) \ne 0 \to \alpha \ne \frac{\pi}{2} + k\pi [/math]
[math] \sin (\alpha) \ne 0 \to \alpha \ne \pi + k\pi [/math]
Da cui:
[math]\alpha \ne k\frac{\pi}{2} [/math]
Procediamo trasformando tutto in seno e coseno; lavoriamo sull'espressione al primo membro:
[math] (\frac{1}{ \frac{\sin (\alpha)}{\cos(\alpha)} } + \frac{1}{\frac{\cos(\alpha)}{\sin (\alpha)}}) \cdot {(\sin (\alpha) + \cos(\alpha))}^2 [/math]
[math] ( \frac{\cos(\alpha)}{\sin (\alpha)} + \frac{\sin (\alpha)}{\cos(\alpha)}) \cdot {(\sin (\alpha) + \cos(\alpha))}^2 [/math]
Calcoliamo il minimo comune multiplo dentro parentesi:
[math] ( \frac{\cos(\alpha) \cdot \cos(\alpha) + \sin (\alpha) \cdot \sin (\alpha) }{\sin(\alpha) \cos(\alpha)} ) \cdot {(\sin(\alpha) + \cos(\alpha))}^2 [/math]
[math] ( \frac{\cos^2 (\alpha) + \sin ^2 (\alpha) }{\sin(\alpha) \cos(\alpha)} ) \cdot {(\sin(\alpha) + \cos(\alpha))}^2 [/math]
Svolgiamo il quadrato:
[math] ( \frac{\cos^2 (\alpha) + \sin ^2 (\alpha) }{\sin(\alpha) \cos(\alpha)} ) \cdot (\sin^2(\alpha) + \cos^2(\alpha) + 2\sin(\alpha) \cos(\alpha)) [/math]
Trasformiamo
[math]\sin ^2(\alpha)[/math]
in [math]1 - \cos^2(\alpha)[/math]
:[math] ( \frac{\cos^2 (\alpha) + 1 - \cos^2(\alpha) }{\sin (\alpha) \cos(\alpha)} ) \cdot (1 - \cos^2(\alpha) + \cos^2(\alpha) + 2\sin(\alpha) \cos(\alpha)) [/math]
[math] ( \frac{1}{\sin (\alpha) \cos(\alpha)} ) \cdot (1 + 2\sin(\alpha) \cos(\alpha)) [/math]
Moltiplichiamo:
[math] (\frac{(1 + 2\sin (\alpha) \cos(\alpha))}{\sin(\alpha) \cos(\alpha)} ) [/math]
