Data la funzione f : ℝ2 → ℝ definita da:
\[ f(x; y) = \begin{cases} 2y\cos x, & x \ge/ \pi \\ x+2y-\pi, & x \lt \pi \end{cases} \]
studiarne continuità ed esistenza delle derivate parziali .
Indicando con A e B gli insiemi dei punti di ℝ2 con ascissa rispettivamente minore di π e maggiore di π, si riconosce subito che f è continua in tutti i punti di A e in tutti quelli di B; resta da studiare la continuità di f nei punti della retta d’equazione x = π, cioè nei punti di coordinate (π; t) con t∈ℝ. Risultando
\[ f(\pi, t) = -2t, \lim_{(x;y) \rightarrow (\pi; t)} 2y\cos x = -2t, \lim_{(x; y) \rightarrow (\pi; t)} x + 2y – \pi = 2t \]
per la continuità in (π;t) deve essere -2t=2t da cui t=0. Pertanto la funzione f è continua in (π;0) ma non negli altri punti della retta d’equazione x = π.
Nell’insieme (aperto) A risulta: \( f_x = 1, f_y = 2 \); nell’insieme (aperto) B risulta: \( f_x = -2y\sin x , f_y = 2\cos x \). Resta da studiare l’esistenza delle derivate parziali nei punti della retta d’equazione x=π. Su tale retta la funzione è uguale a \( 2y\cos \pi \), ossia -2y ; siccome il calcolo della derivata parziale rispetto ad y in tali punti coinvolge solo i valori della funzione lungo la retta stessa, si può dire che \( f_y (\pi, t) = -2t \) per ogni t reale. Per la derivata parziale di f rispetto ad x in tali punti, occorre calcolare i limiti, per \( h \rightarrow 0^{+} \) per \( h \rightarrow 0^{-} \), del rapporto incrementale parziale rispetto ad x. Risulta:
\[ \lim_{h \rightarrow 0^{+}} \frac{f(\pi + h; t) – f(\pi; t)}{h} = \lim_{h \rightarrow 0^{+}} \frac{2t\cos (\pi + h) – ( -2t )}{h} = \lim_{h \rightarrow 0^{+}} \frac{-2t\cos h + 2t}{h} = \]
\[ \lim_{h \rightarrow 0^{+}} -2t \frac{\cos h – 1}{h} = 0, \mbox{per } \forall t \in \mathbb{R} \].
dal momento che \( \cos h \sim -h^2/2 \mbox{ se } h \rightarrow 0\);
\[ \lim_{h \rightarrow 0^{-}}\frac{f(\pi+h; t) – f(\pi; t)}{h} = \lim_{h \rightarrow 0^{-}}\frac{\pi+h+2t-\pi-(-2t)}{h} = \lim_{h \rightarrow 0^{-}}\frac{h+4t}{h} = \begin{cases}\infty, & t \ne 0 \\ 1, & t = 0 \end{cases} \]
Qualsiasi sia il valore reale di t, i due limiti considerati non sono uguali, quindi la derivata parziale di f rispetto ad x non esiste in alcun punto della retta d’equazione x = π.