Stabilire se il seguente insieme è limitato superiormente, inferiormente. Determinare (se esistono) l'estremo superiore, l'estremo inferiore, il massimo e il minimo assoluto.
$\{x \in \mathbb{R}: \sqrt{x^2 + x – 6} >1\}$
Affinché la radice abbia senso, è necessario che il radicando sia non negativo:
$x^2 + x – 6 \ge 0$ (1)
Le soluzioni dell'equazione associata sono
$x_{1,2} = \frac{-1 \pm \sqrt{1 + 24}}{2} = \frac{-1 \pm 5}{2}$
$x_1 = -3 \quad x_2 = 2$
pertanto la (1) è soddisfatta per
$x \le -3 \quad \vee \quad x \ge 2$ (3)
La diseuquazione
$\sqrt{x^2 + x – 6} \ge 1$
è soddisfatta se vale (3) e se
$x^2 + x – 6 \ge 1$ (4)
Le soluzioni dell'equazione associata sono
$x_{1,2} = \frac{-1 \pm \sqrt{1+28}}{2} = \frac{-1 \pm \sqrt{29}}{2}$
pertanto la (4) è soddisfatta per
$x < \frac{-1 – \sqrt{29}}{2} \quad \vee \quad x > \frac{-1 + \sqrt{29}}{2}$
quindi, tenendo conto anche di (3), l'insiemee iniziale si può riscrivere come
$\{x \in \mathbb{R}: x < \frac{-1 – \sqrt{29}}{2} \quad \vee \quad x > \frac{-1 + \sqrt{29}}{2}\} = ]-\infty, \frac{-1 – \sqrt{29}}{2}[ \quad \cup \quad ]\frac{-1 + \sqrt{29}}{2}, +\infty[$
Pertanto l'insieme è illimitato sia superiormente che inferiormente. Non ammettené minimo assoluto né massimo assoluto, l'estremo inferiore e superiore coincidono rispettivamente con $-\infty$ e $+\infty$.
FINE