Sia $D \subset \mathbb{R}^2$ il dominio di definizione della funzione
$f(x,y) = \sqrt{x^2 – 4} \cdot \log(36 – 4x^2 – 9y^2)$
Disegnarlo, determinare la frontiera e stabilire se $D$ è aperto, chiuso, limitato, compatto, e da quante componenti connesse è composto.
Una radice quadrata è definita quando il radicando è non negativo, un logaritmo invece ha senso se l'argomento è positivo, pertanto il dominio della funzione si può trovare risolvendo il seguente sistema
$\{(x^2 – 4 \ge 0),(36 – 4x^2 – 9y^2 > 0):} = \{(x \le -2 \quad \vee \quad x \ge 2),(\frac{x^2}{9} + \frac{y^2}{4} < 1):}$
Quindi $D = \{(x,y) \in \mathbb{R}^2: x^2 – 4 \ge 0, \frac{x^2}{9} + \frac{y^2}{4} < 1\}$
La frontiera dell'insieme è
$\partial D = \{(-2,y) \in \mathbb{R}^2: – \sqrt{\frac{28}{9}} \le y \le \sqrt{\frac{28}{9}}\} \cup \{(2,y) \in \mathbb{R}^2: – \sqrt{\frac{28}{9}} \le y \le \sqrt{\frac{28}{9}}\} \cup \{(x,y) \in \mathbb{R}^2: \frac{x^2}{9} + \frac{y^2}{4} = 1, x \le -2\} \cup \{(x,y) \in \mathbb{R}^2: \frac{x^2}{9} + \frac{y^2}{4} = 1, x \ge 2\}$
Dato che $\partial D \cap D \ne \emptyset$, e che la frontiera di $D$ non è interamente contenuta in $D$, l'insieme non è aperto né chiuso.
Il dominio $D$ è un insieme limitato, esiste infatti un intorno sferico aperto dell'origine (ad esempio di raggio $10$) che lo contenga propriamente.
Infine $D$ non è connesso per archi, ma possiede due componenti connesse.
FINE