Stabilire l'ordine di infinitesimo, per $x \to 0^{+}$, delle seguente funzione:
$f(x) = ((1 – \sin(\frac{x^2}{4}))^{2} – \cos(x)) \sin(x)$
Gli sviluppi di Mac Laurin di seno e coseno sono, rispettivamente:
$\sin(x) = x – \frac{x^3}{6} + o(x^3) \quad \quad \cos(x) = 1 – \frac{x^2}{2} + \frac{x^4}{24} + o(x^4)$
Pertanto
$\sin(\frac{x^2}{4}) = \frac{x^2}{4} – \frac{1}{6} (\frac{x^2}{4})^3 + o(x^6) = \frac{x^2}{4} – \frac{1}{6} \cdot \frac{x^6}{64} + o(x^6) = \frac{x^2}{4} – \frac{x^6}{384} + o(x^6)$
Di conseguenza la funzione $f(\cdot)$ diventa
$f(x) = ((1 – \frac{x^2}{4} + \frac{x^6}{384} + o(x^6))^2 – 1 + \frac{x^2}{2} – \frac{x^4}{24}) (x + o(x))$
Sviluppando il quadrato fino al grado $4$, e tralasciando i termini di grado superiore, si ottiene
$(1 – \frac{x^2}{2} + \frac{x^4}{16} – 1 + \frac{x^2}{2} – \frac{x^4}{24} + o(x^4)) (x + o(x)) = (\frac{x^4}{48} + o(x^4)) (x + o(x)) = \frac{x^5}{48} + o(x^5)$
Pertanto, per $x \to 0$, la funzione $f(x)$ è un infinitesimo di ordine $5$.