Trasforma la seguente espressione in modo che contenga un solo radicale; quindi, se possibile, semplificala e trasporta fuori dalla radice i fattori con esponente maggiore o uguale allindice della radice.
[math][/math] left( sqrt[3]{2 sqrt[3]{2 sqrt{frac{1}{2}}}} sqrt[3]{frac{1}{2} sqrt[3]{2 sqrt[3]{frac{1}{4}}}}
ight)^6 sqrt[3]{4 sqrt{2}} [math][/math]
ight)^6 sqrt[3]{4 sqrt{2}} [math][/math]
Svolgimento
Prima di tutto, trasformiamo i fattori in potenze, tenendo conto delle loro propriet:
[math][/math] left( sqrt[3]{2 sqrt[3]{2 sqrt{2^{-1}}}} sqrt[3]{2^{-1} sqrt[3]{2 sqrt[3]{2^{-2}}}}
ight)^6 sqrt[3]{2^2 sqrt{2}} [math][/math]
ight)^6 sqrt[3]{2^2 sqrt{2}} [math][/math]
Ora, portiamo dentro radice:
[math][/math] left( sqrt[3]{2 sqrt[3]{sqrt{ 2^2 2^{-1}}}} sqrt[3]{2^{-1} sqrt[3]{sqrt[3]{2^3 2^{-2}}}}
ight)^6 sqrt[3]{sqrt{(2^2)^2 2}} [math][/math]
ight)^6 sqrt[3]{sqrt{(2^2)^2 2}} [math][/math]
[math][/math] left( sqrt[3]{sqrt[3]{2^3 sqrt{ 2^2 2^{-1}}}} sqrt[3]{sqrt[3]{(2^{-1})^3 sqrt[3]{2^3 2^{-2}}}}
ight)^6 sqrt[3]{sqrt{(2^2)^2 2}} [math][/math]
ight)^6 sqrt[3]{sqrt{(2^2)^2 2}} [math][/math]
[math][/math] left( sqrt[3]{sqrt[3]{2^3 sqrt{2}}} sqrt[3]{sqrt[3]{2^{-3} sqrt[3]{2}}}
ight)^6 sqrt[3]{sqrt{2^4 2}} [math][/math]
ight)^6 sqrt[3]{sqrt{2^4 2}} [math][/math]
[math][/math] left( sqrt[3]{sqrt[3]{sqrt{(2^3)^2 2}}} sqrt[3]{sqrt[3]{sqrt[3]{(2^{-3})^3 2}}}
ight)^6 sqrt[3]{sqrt{2^5}} [math][/math]
ight)^6 sqrt[3]{sqrt{2^5}} [math][/math]
[math][/math] left( sqrt[3]{sqrt[3]{sqrt{2^6 2}}} sqrt[3]{sqrt[3]{sqrt[3]{2^{-9} 2}}}
ight)^6 sqrt[3]{sqrt{2^5}} [math][/math]
ight)^6 sqrt[3]{sqrt{2^5}} [math][/math]
[math][/math] left( sqrt[3]{sqrt[3]{sqrt{2^7}}} sqrt[3]{sqrt[3]{sqrt[3]{2^{-8}}}}
ight)^6 sqrt[3]{sqrt{2^5}} [math][/math]
ight)^6 sqrt[3]{sqrt{2^5}} [math][/math]
Moltiplichiamo gli indici delle radici, cos da ottenerne una sola:
[math][/math] left( sqrt[3 3 2]{2^7} sqrt[3 3 3]{2^{-8}}
ight)^6 sqrt[3 2]{2^5} [math][/math]
ight)^6 sqrt[3 2]{2^5} [math][/math]
[math][/math] left( sqrt[18]{2^7} sqrt[27]{2^{-8}}
ight)^6 sqrt[6]{2^5} [math][/math]
ight)^6 sqrt[6]{2^5} [math][/math]
Riduciamo le radici allinterno della parentesi tonda allo stesso indice:
[math][/math] left( sqrt[54]{(2^7)^3 (2^{-8})^2 }
ight)^6 sqrt[6]{2^5} [math][/math]
ight)^6 sqrt[6]{2^5} [math][/math]
[math][/math] left( sqrt[54]{2^{21}2^{-16} }
ight)^6 sqrt[6]{2^5} [math][/math]
ight)^6 sqrt[6]{2^5} [math][/math]
[math][/math] left( sqrt[54]{2^{21 - 16} }
ight)^6 sqrt[6]{2^5} [math][/math]
ight)^6 sqrt[6]{2^5} [math][/math]
[math][/math] left( sqrt[54]{2^5}
ight)^6 sqrt[6]{2^5} [math][/math]
ight)^6 sqrt[6]{2^5} [math][/math]
Svolgiamo la potenza esterna:
[math][/math] sqrt[54]{(2^5)^6} sqrt[6]{2^5} [math][/math]
[math][/math] sqrt[54]{2^{30}} sqrt[6]{2^5} [math][/math]
Riduciamo allo stesso indice:
[math][/math] sqrt[54]{2^{30} (2^5)^9} [math][/math]
[math][/math] sqrt[54]{2^{30} 2^{45}} = sqrt[54]{2^{30 + 45}} = sqrt[54]{2^{75}} [math][/math]
Semplifichiamo lindice con lesponente del radicando:
[math][/math] sqrt[18]{2^{25}} [math][/math]
Poich lesponente del radicando maggiore dellindice della radice, possiamo portare fuori dalla radice:
[math][/math] sqrt[18]{2^{18}2^7} = 2 sqrt[18]{2^7} [math][/math]
Abbiamo cos ridotto lespressione ad un solo radicale.
