Semplifica la seguente espressione numerica ed esprimi il risultato in modo che gli eventuali denominatori non contengano radicali.
[math][/math] frac{ sqrt[n]{2 + sqrt{3}} sqrt[2n]{(sqrt{3} - 2)^2} + sqrt[2]{(1 - sqrt{3})^2}}{sqrt{3} - 2} frac{1}{sqrt{3}} - frac{1}{sqrt{3} - 1} [math][/math]
Svolgimento
Cominciamo dal primo prodotto e riduciamo le radici allo stesso indice:
[math][/math] frac{ sqrt[2n]{(2 + sqrt{3})^2 (sqrt{3} - 2)^2} + sqrt[2]{(1 - sqrt{3})^2}}{sqrt{3} - 2} frac{1}{sqrt{3}} - frac{1}{sqrt{3} - 1} [math][/math]
[math][/math] frac{ sqrt[2n]{(2 + sqrt{3})^2 (sqrt{3} - 2)^2} + sqrt[2]{(1 - sqrt{3})^2}}{sqrt{3} - 2} frac{1}{sqrt{3}} - frac{1}{sqrt{3} - 1} [math][/math]
Possiamo semplificare lindice della radice con lesponente dei radicandi; prima, per, ricordiamoci di cambiare segno ai fattori negativi:
[math][/math] frac{ sqrt[n]{(2 + sqrt{3}) (sqrt{3} - 2)} + sqrt[2]{(1 - sqrt{3})^2}}{sqrt{3} - 2} frac{1}{sqrt{3}} - frac{1}{sqrt{3} - 1} [math][/math]
Svolgiamo il prodotto:
[math][/math] frac{ sqrt[n]{ - 3 + 4} + sqrt[2]{(1 - sqrt{3})^2}}{sqrt{3} - 2} frac{1}{sqrt{3}} - frac{1}{sqrt{3} - 1} [math][/math]
[math][/math] frac{ 1 + sqrt[2]{(1 - sqrt{3})^2}}{sqrt{3} - 2} frac{1}{sqrt{3}} - frac{1}{sqrt{3} - 1} [math][/math]
Allo stesso modo, possiamo semplificare la seconda radice, cambiando per il segno del radicando:
[math][/math] frac{ 1 + sqrt[2]{( - 1 + sqrt{3})^2}}{sqrt{3} - 2} frac{1}{sqrt{3}} - frac{1}{sqrt{3} - 1} [math][/math]
[math][/math] frac{ 1 + sqrt{3} - 1}{sqrt{3} - 2} frac{1}{sqrt{3}} - frac{1}{sqrt{3} - 1} [math][/math]
[math][/math] frac{ sqrt{3}}{sqrt{3} - 2} frac{1}{sqrt{3}} - frac{1}{sqrt{3} - 1} [math][/math]
Moltiplichiamo le prime due frazioni:
[math][/math] frac{1}{sqrt{3} - 2} - frac{1}{sqrt{3} - 1} [math][/math]
Calcoliamo il minimo comune multiplo:
[math][/math] frac{sqrt{3} - 1 - (sqrt{3} - 2)}{(sqrt{3} - 2)(sqrt{3} - 1)} = frac{sqrt{3} - 1 - sqrt{3} + 2}{3 - 2 sqrt{3} - sqrt{3} + 2} = [math][/math]
[math] frac(1)(5 - 3\sqrt3) [/math]
Razionalizziamo:
[math] frac(1)(5 - 3\sqrt3) frac{5 + 3\sqrt3}{5 + 3\sqrt3} = frac{5 + 3\sqrt3}((5 - 3\sqrt3){5 + 3\sqrt3}) =[/math]
[math]frac(5 + 3\sqrt3){25 - 27} = frac(5 + 3\sqrt3)(-2) = - frac(5 + 3\sqrt3)(2) [/math]
