$$ \left[\frac{3 \sqrt{12} – 3 \sqrt{2}}{\sqrt{18}} + \sqrt[4]{(\frac{3}{2})^2} · (\sqrt{6} – 2)\right] · \frac{1}{(\sqrt{2} – 2)^2} $$

Semplifica la seguente espressione numerica ed esprimi il risultato in modo che gli eventuali denominatori non contengano radicali.

$$ \left[\frac{3 \sqrt{12} – 3 \sqrt{2}}{\sqrt{18}} + \sqrt[4]{(\frac{3}{2})^2} · (\sqrt{6} – 2)\right] · \frac{1}{(\sqrt{2} – 2)^2} $$

 

Svolgimento

Cominciamo portando fuori radice:

$$ \left[ \frac{3 \sqrt{3 · 4} – 3 \sqrt{2}}{\sqrt{2 · 9}} + \sqrt[4]{ \left(\frac{3}{2} \right)^2} · (\sqrt{6} – 2) \right] · \frac{1}{(\sqrt{2} – 2)^2} $$

$$ \left[\frac{3 · 2 · \sqrt{3} – 3 \sqrt{2}}{3 \sqrt{2}} + \sqrt[4]{ \left(\frac{3}{2}\right)^2} · (\sqrt{6} – 2) \right] · \frac{1}{(\sqrt{2} – 2)^2} $$

$$ \left[\frac{ 6 \sqrt{3} – 3 \sqrt{2}}{3 \sqrt{2}} + \sqrt[4]{ \left(\frac{3}{2}\right)^2} · (\sqrt{6} – 2) \right] · \frac{1}{(\sqrt{2} – 2)^2} $$

Semplifichiamo ora l’indice della seconda radice con l’esponente del radicando:

$$ \left[\frac{ 6 \sqrt{3} – 3 \sqrt{2}}{3 \sqrt{2}} + \sqrt[2]{\frac{3}{2}} · (\sqrt{6} – 2) \right] · \frac{1}{(\sqrt{2} – 2)^2} $$

Svolgiamo la moltiplicazione:

$$ \left[\frac{ 6 \sqrt{3} – 3 \sqrt{2}}{3 \sqrt{2}} + \sqrt{\frac{3}{2}} · \sqrt{6} – \sqrt{\frac{3}{2}} · 2 \right] · \frac{1}{(\sqrt{2} – 2)^2} $$

$$ \left[\frac{ 6 \sqrt{3} – 3 \sqrt{2}}{3 \sqrt{2}} + \sqrt{\frac{3}{2} · 6} – 2 \sqrt{\frac{3}{2}} \right] · \frac{1}{(\sqrt{2} – 2)^2} $$

$$ \left[\frac{ 6 \sqrt{3} – 3 \sqrt{2}}{3 \sqrt{2}} + 3 – 2 \sqrt{\frac{3}{2}} \right] · \frac{1}{(\sqrt{2} – 2)^2} $$

Calcoliamo il minimo comune multiplo all’interno della parentesi:

$$ \left[\frac{ 6 \sqrt{3} – 3 \sqrt{2} + 9 \sqrt{2} – 6 \sqrt{3}}{3 \sqrt{2}} \right] · \frac{1}{(\sqrt{2} – 2)^2} $$

$$ \left[\frac{ 6 \sqrt{2}}{3 \sqrt{2}} \right] · \frac{1}{(\sqrt{2} – 2)^2} $$

$$ 2 · \frac{1}{(\sqrt{2} – 2)^2} $$

Svolgiamo il quadrato:

$ 2 · frac(1)(2 + 4 – 4sqrt2) $

$ 2 · frac(1)(6 – 4sqrt2) $

Mettiamo in evidenza e semplifichiamo:

$ 2 · frac(1)(2(3 – 2sqrt2)) = frac(1)(3 – 2sqrt2) $

Razionalizziamo:

$ frac(1)(3 – 2sqrt2)  ·  frac(3 + 2 sqrt2)(3 + 2 sqrt2) = frac(3 + 2 sqrt2)((3 – 2 sqrt2)(3 + 2 sqrt2)) =$

$ frac(3 + 2 sqrt2)(9 – 8) = 3 + 2 sqrt2 $

 

 

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