$ frac(log_(sqrt2) 5 – log_2 (25))(log_4 (5)) + frac(log_3(2) + 4log_9(4))(log_(27) (8)) $

Applicando le proprietà dei logaritmi, risolvere la seguente espressione:

$ frac(log_(sqrt2) 5 – log_2 (25))(log_4 (5)) + frac(log_3(2) + 4log_9(4))(log_(27) (8)) $

 

Svolgimento

Sappiamo che la radice di un numero può essere scritta in questo modo:

$ sqrt(a) = a^(1/2)$

quindi

$ frac(log_(2^(1/2)) 5 – log_2 (25))(log_(2^2) (5)) + frac(log_3(2) + 4log_(3^2)(4))(log_(3^3) (8)) $

Secondo un proprietà dei logaritmi, sappiamo che:

$ log_a (b) = frac(log_c (b))(log_c (a)) $

Di conseguenza, abbiamo che:

$ frac(frac(log_2 (5))(log_2 (sqrt2)) – log_2 (25))(frac(log_2(5))(log_2 (4))) + frac(log_3(2) + 4log_(9)(4))(frac(log_3(8))(log_3(3^3))) $

Secondo le proprietà dei logaritmi, abbiamo che :

$ log_a(b^k) = k log_a (b) $

Possiamo quindi mettere ad esponente il coefficiente del logaritmo:

$ frac(frac(log_2 (5))(log_2 (sqrt2)) – log_2 (25))(frac(log_2(5))(log_2 (4))) + frac(log_3(2) + log_(9)(4^4))(frac(log_3(8))(log_3(3^3))) $

$ frac(frac(log_2 (5))(log_2 (sqrt2)) – log_2 (25))(frac(log_2(5))(log_2 (4))) + frac(log_3(2) + frac(log_3(4^4))(log_3(3^2)))(frac(log_3(8))(log_3(3^3))) $

Possiamo calcolare il valore di alcuni logaritmi:

$ log_2 (sqrt2) = log_2 (2^(1/2)) = 1/2 $

$ log_2 (4) = log_2 (2^2) = 2 $

$ log_3 (27) = log_3 (3^3) = 3 $

$ log_3 (9) = log_3 (3^2) = 2 $

Sostituiamo:

$ frac(frac(log_2 (5))(1/2) – log_2 (25))(frac(log_2(5))(log_2 (4))) + frac(log_3(2) + frac(log_3(4^4))(2))(frac(log_3(8))(3)) $

$ frac( 2log_2 (5) – log_2 (25))(frac(log_2(5))(2)) + frac(log_3(2) + frac(log_3(4^4))(2))(frac(log_3(8))(3)) $

$ frac( log_2 (5^2) – log_2 (25))(frac(log_2(5))(2)) + frac(log_3(2) + frac(log_3(4^4))(2))(frac(log_3(8))(3)) $

$ frac( log_2 (25) – log_2 (25))(frac(log_2(5))(2)) + frac(log_3(2) + frac(log_3(4^4))(2))(frac(log_3(8))(3)) $

$ frac( log_3(2) + 1/2 log_3(2^8) )(1/3 log_3(2^3)) $

$ frac( log_3(2) + log_3((2^8)^(1/2)) )(log_3((2^3)^(1/3))) $

$ frac( log_3(2) + log_3(2^4) )(log_3(2)) $

sapendo che:

$ log_a (b_1 * b_2) = log_a(b_1) + log_a (b_2)$

possiamo scrivere

$ frac( log_3(2^4 * 2) )(log_3(2)) = frac( log_3(2^5) )(log_3(2)) $

$ frac( 5 log_3(2) )(log_3(2)) = 5 $

 

 

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