Espressioni numeriche: Semplificare la seguente espressione logaritmica: 2 (log(2) - 1/2 log(3)) + 1/2 (log(3) - 3 log(2))

semplificazione di un'espressione logaritmica: applicazione delle principali regole di calcolo dei logaritmi

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Semplificare la seguente espressione logaritmica:

[math] 2 (\\log(2) - 1/2 \\log(3)) + 1/2 (\\log(3) - 3 \\log(2)) [/math]

Ricordiamo che, quando non espressa la base del logaritmo, da considerarsi in base 10.

Applichiamo la propriet dei logaritmi in base alla quale si ha

[math]\\log_a(b^k) = k \\log_a(b)[/math]

[math] 2 (\\log(2) - \\log(3^{1/2})) + 1/2 (\\log(3) - \\log(2^3)) =2 (\\log(2) - \\log(\sqrt3)) + 1/2 {\\log(3) - \\log(8)} [/math]

[math] 2 (\\log(2) - \\log(\sqrt3)) + 1/2 {\\log(3) - \\log(8)} [/math]

Sfruttando la propriet secondo cui

[math] \\log_a(frac(b_1)(b_2)) = \\log_a (b_1) - \\log_a (b_2) [/math]

, abbiamo:

[math] 2 \\log( frac(2)(\sqrt3)) + 1/2 \\log{frac(3)(8)} [/math]

Applichiamo la propriet dei logaritmi in base alla quale si ha

[math]\\log_a(b^k) = k \\log_a(b)[/math]

[math] \\log( frac(2)(\sqrt3))^2 + \\log{frac(3)(8)}^{1/2} [/math]

[math] \\log( frac(4)(3)) + \\log(\sqrt{frac(3)(8)}) [/math]

sapendo che:

[math] \\log_a( b_1 \cdot b_2 ) = \\log_a (b_1) + \\log_a (b_2) [/math]

possiamo scrivere

[math] \\log( frac(4)(3) \cdot \sqrt{frac(3)(8)} ) [/math]

Portiamo sotto radice e moltiplichiamo:

[math] \\log( \sqrt{ (4/3)^2 \cdot frac(3)(8)} ) [/math]

[math] \\log( \sqrt{ frac(16)(9) \cdot frac(3)(8)} ) = \\log( \sqrt( 2/3 ) ) [/math]

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