Semplificare la seguente espressione logaritmica: $ 2 (log(2) – 1/2 log(3)) + 1/2 (log(3) – 3 log(2)) $

Semplificare la seguente espressione logaritmica:

$ 2 (log(2) – 1/2 log(3)) + 1/2 (log(3) – 3 log(2)) $

 

Svolgimento

Ricordiamo che, quando non è espressa la base del logaritmo, è da considerarsi in base 10.

Applichiamo la proprietà dei logaritmi in base alla quale si ha  $log_a(b^k) = k log_a(b)$:

$ 2 (log(2) – log(3^(1/2))) + 1/2 (log(3) – log(2^3)) = 2 (log(2) – log(sqrt3)) + 1/2 (log(3) – log(8)) $

$ 2 (log(2) – log(sqrt3)) + 1/2 (log(3) – log(8)) $

Sfruttando la proprietà secondo cui   $ log_a(frac(b_1)(b_2)) = log_a (b_1) – log_a (b_2) $, abbiamo:

$ 2 log( frac(2)(sqrt3)) + 1/2 log(frac(3)(8)) $

Applichiamo la proprietà dei logaritmi in base alla quale si ha  $log_a(b^k) = k log_a(b)$ :

$ log( frac(2)(sqrt3))^2 + log(frac(3)(8))^(1/2) $

$ log( frac(4)(3)) + log(sqrt(frac(3)(8))) $

sapendo che:

$ log_a( b_1 * b_2 ) = log_a (b_1) + log_a (b_2) $

possiamo scrivere

$ log( frac(4)(3) * sqrt(frac(3)(8)) ) $

Portiamo sotto radice e moltiplichiamo:

$ log( sqrt( (4/3)^2 * frac(3)(8)) ) $

$ log( sqrt( frac(16)(9) * frac(3)(8)) ) = log( sqrt( 2/3 ) ) $

 

 

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