Semplificare la seguente espressione logaritmica: $$ log_3 (\sqrt[5]{27 \sqrt[3]{3}}) $$    

Semplificare la seguente espressione logaritmica:

$$ log_3 (\sqrt[5]{27 \sqrt[3]{3}}) $$

 

Svolgimento

Cerchiamo di semplificare la scrittura togliendo le radici;

sappiamo che la radice di un numero può essere scritta in questo modo:

$ sqrt(a) = a^(1/2) $

Quindi, si ha:

$$ log_3 ( 27 \sqrt[3]{3})^{\frac{1}{5}} $$

Inoltre, sfruttando la seguente proprietà dei logaritmi  $log_a(b^k) = k log_a (b)$, possiamo scrivere:

$$ \frac{1}{5} · log_3 ( 27 \sqrt[3]{3}) $$

$$ \frac{1}{5} · log_3 ( 3^3 \sqrt[3]{3}) $$

Seguiamo lo stesso procedimento per la seconda radice:

$$ \frac{1}{5} · log_3 ( 3^3 · 3^{\frac{1}{3}}) = \frac{1}{5}  ·  log_3 ( 3^{3 + \frac{1}{3}}) $$

$$ \frac{1}{5} · log_3 ( 3^{\frac{10}{3}}) $$

Sapendo che il logaritmo, per definizione, è l’esponente da dare alla base per ottenere l’argomento, abbiamo che:

$$ \frac{1}{5} ·  log_3 ( 3^{\frac{10}{3}}) =  \frac{1}{5} · \frac{10}{3} = \frac{2}{3} $$

 

 

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