Semplificare la seguente espressione logaritmica:
[math][/math] log_5 left( sqrt[3]{25 sqrt[5]{5 sqrt{5}}}
ight) [math][/math]
ight) [math][/math]
Svolgimento
Sappiamo che la radice di un numero pu essere scritta in questo modo:
[math] \sqrt{a} = a^{1/2} [/math]
quindi:
[math][/math] log_5 left(25 sqrt[5]{5 sqrt{5}}
ight)^{frac{1}{3}}[math][/math]
ight)^{frac{1}{3}}[math][/math]
sfruttando la seguente propriet dei logaritmi
[math] \\log_a (b^k) = k \\log_a (b) [/math]
, possiamo scrivere:
[math][/math] frac{1}{3} log_5 left(25 sqrt[5]{5 sqrt{5}}
ight) [math][/math]
ight) [math][/math]
Effettuiamo la stessa operazione con le altre radici:
[math][/math] frac{1}{3} log_5 (25 (5 sqrt{5})^ {frac{1}{5}}) [math][/math]
[math][/math] frac{1}{3} log_5 (25 (5 5^{ frac{1}{5}} )^{frac{1}{5}} ) [math][/math]
[math][/math] frac{1}{3} log_5 (5^2 (5 5^{ frac{1}{2} })^{frac{1}{5}} ) [math][/math]
[math][/math] frac{1}{3} log_5 (5^2 5^{ frac{1}{5} } 5^{ frac{1}{10} } ) [math][/math]
[math][/math] frac{1}{3} log_5 ( 5^{2 + frac{1}{5} + frac{1}{10}} ) [math][/math]
[math][/math] frac{1}{3} log_5 ( 5^{frac{23}{10}} ) [math][/math]
Sapendo che il logaritmo, per definizione, lesponente da dare alla base per ottenere largomento, abbiamo che:
[math][/math] frac{1}{3} log_5 ( 5^{frac{23}{10}} ) = frac{1}{3} frac{23}{10} = frac{23}{30} [math][/math]
