Semplificare la seguente espressione logaritmica: $$ log_5 \left(\sqrt[3]{25 \sqrt[5]{5 \sqrt{5}}} \right)$$

Semplificare la seguente espressione logaritmica:

$$ log_5  \left( \sqrt[3]{25 \sqrt[5]{5 \sqrt{5}}} \right) $$

 

Svolgimento

Sappiamo che la radice di un numero può essere scritta in questo modo:

$ sqrt(a) = a^(1/2) $

quindi:

$$  log_5  \left(25 \sqrt[5]{5 \sqrt{5}}\right)^{\frac{1}{3}}$$

sfruttando la seguente proprietà dei logaritmi   $ log_a (b^k) = k log_a (b) $, possiamo scrivere:

$$  \frac{1}{3} log_5 \left(25 \sqrt[5]{5 \sqrt{5}} \right) $$

Effettuiamo la stessa operazione con le altre radici:

$$  \frac{1}{3} log_5 (25 (5 \sqrt{5})^ {\frac{1}{5}}) $$

$$  \frac{1}{3} log_5 (25 (5 · 5^{ \frac{1}{5}} )^{\frac{1}{5}} ) $$

$$  \frac{1}{3} log_5 (5^2 · (5 · 5^{ \frac{1}{2} })^{\frac{1}{5}} ) $$

$$  \frac{1}{3} log_5 (5^2 · 5^{ \frac{1}{5} } · 5^{ \frac{1}{10} } ) $$

$$  \frac{1}{3} log_5 ( 5^{2 + \frac{1}{5} + \frac{1}{10}} ) $$

$$  \frac{1}{3} log_5 ( 5^{\frac{23}{10}} ) $$

Sapendo che il logaritmo, per definizione, è l’esponente da dare alla base per ottenere l’argomento, abbiamo che:

$$  \frac{1}{3} log_5 ( 5^{\frac{23}{10}} ) = \frac{1}{3}  · \frac{23}{10} = \frac{23}{30} $$

 

 

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