Calcolare il gradiente della seguente funzione in due variabili: $ f(x,y) = arctan(y/x) $

Il gradiente di una funzione, indicato con il simbolo $nabla$, è definito come un vettore che ha come componenti le derivate parziali della funzione.

Per calcolare il gradiente, quindi, procediamo determinando le derivate parziali della funzione.

La derivata parziale rispetto ad x si ottiene considerando come variabile $x$, mentre si considera  $y$ come costante:

$ frac(df)(dx) (x,y) = frac(d)(dx) (arctan(y/x)) = frac(1)( 1 + (y/x)^2) * (-frac(y)(x^2)) = $

$ frac(1)( 1 + y^2/x^2) * (-frac(y)(x^2)) = frac(x^2)( x^2 + y^2) * (-frac(y)(x^2)) = $

$ frac(-y)( x^2 + y^2) $

Procediamo allo stesso modo determinando la derivata parziale della funzione rispetto ad $y$:

$ frac(df)(dy) (x,y) = frac(d)(dy) (arctan(y/x)) = frac(1)( 1 + (y/x)^2) * (frac(1)(x)) = $

$ frac(1)( 1 + y^2/x^2) * (frac(1)(x)) = frac(x^2)( x^2 + y^2) * (frac(1)(x)) = $

$ frac(x)( x^2 + y^2) $

Il gradiente della funzione $f$ è dato quindi dalla seguente espressione:

$ nabla f(x,y) = ( frac(-y)( x^2 + y^2) , frac(x)( x^2 + y^2) ) $

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