Calcolare il gradiente della seguente funzione in due variabili: $ f(x,y) = frac(x+y)(x-y) $

Il gradiente di una funzione, indicato con il simbolo $nabla$, è definito come un vettore che ha come componenti le derivate parziali della funzione.

Per calcolare il gradiente, quindi, procediamo determinando le derivate parziali della funzione.

La derivata parziale rispetto ad x si ottiene considerando come variabile $x$, mentre si considera $y$ come costante:

$ frac(df)(dx) (x,y) = frac(d)(dx) (frac(x+y)(x-y)) = frac(x-y – (x+y) )((x-y)^2) = $

$frac(x-y – x – y)((x-y)^2) = frac(- 2y)((x-y)^2)$

Procediamo in modo analogo determinando la derivata parziale della funzione rispetto ad $y$:

$ frac(df)(dy) (x,y) = frac(d)(dy) (frac(x+y)(x-y)) = frac(x-y – (x+y)(-1) )((x-y)^2) = $

$frac(x-y + x + y)((x-y)^2) = frac( 2x)((x-y)^2)$

Quindi, il gradiente della funzione $f$ sarà dato dalla seguente espressione:

$ nabla f(x,y) = (frac(- 2y)((x-y)^2) , frac( 2x) ((x-y)^2) ) $

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