Il gradiente di una funzione, indicato con il simbolo
[math]\nabla[/math]
, è definito come un vettore che ha come componenti le derivate parziali della funzione.Per calcolare il gradiente, quindi, procediamo determinando le derivate parziali della funzione.
La derivata parziale rispetto ad x si ottiene considerando come variabile
[math]x[/math]
, mentre si considera [math]y[/math]
come costante:
[math] \frac{df}{dx} {x,y} = \frac(d)(dx) (\frac{x+y}{x-y}) = \frac{x-y - (x+y) }{(x-y)^2} = [/math]
[math] \frac{x-y - x - y}{(x-y)^2} = \frac{- 2y}{(x-y)^2} [/math]
Procediamo in modo analogo determinando la derivata parziale della funzione rispetto ad
[math]y[/math]
:
[math] \frac{df}{dy} (x,y) = \frac{d}{dy} (\frac{x+y}{x-y}) = \frac{x-y - (x+y)(-1) }{(x-y)^2} = [/math]
[math] \frac{x-y + x + y}{(x-y)^2} = \frac{ 2x}{(x-y)^2} [/math]
Quindi, il gradiente della funzione
[math]f[/math]
sarà dato dalla seguente espressione:
[math] \nabla f(x,y) = (\frac{- 2y}{(x-y)^2} , \frac{ 2x} {(x-y)^2) } [/math]
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