Calcolare il gradiente della seguente funzione in due variabili: $ f(x,y) = x/y log(xy) $
Il gradiente di una funzione (simbolo $nabla$) è definito come un vettore che ha come componenti le derivate parziali della funzione.
Per calcolare il gradiente, quindi, procediamo determinando le derivate parziali della funzione.
La derivata parziale rispetto ad $x$ si ottiene considerando come variabile $x$, mentre si considera $y$ come costante:
$ frac(df)(dx) (x,y) = frac(d)(dx) ( x/y log(xy) ) = 1/y * log(xy) + x/y * frac(1)(xy) * y$
Semplificando si ha:
$ 1/y * log(xy) + x/y * frac(1)(xy) * y= 1/y * log(xy) + frac(1)(y) = 1/y * (log(xy) + 1) $
Procediamo allo stesso modo determinando la derivata parziale della funzione rispetto ad $y$:
$ frac(df)(dy) (x,y) = frac(d)(dy) ( x/y log(xy) ) = -x/(y^2) * log(xy) + x/y * frac(1)(xy) * x $
Semplificando si ha:
$ -x/(y^2) * log(xy) + x/y * frac(1)(xy) * x = -x/(y^2) * log(xy) + frac(x)(y^2) = $
$ – frac(x)(y^2) * (log(xy) – 1) $
Il gradiente della funzione $f$ è dato quindi dalla seguente espressione:
$ nabla f(x,y) = ( 1/y * (log(xy) + 1) , – frac(x)(y^2) * (log(xy) – 1) ) $
Potrebbe interessarti
- Derivabilità parziale e direzionale in $R^n$
- Differenziabilitià in $R^n$, gradiente e sue proprietà
- Esercizi sulle funzioni di 2 variabili (video)