Calcolare il gradiente della seguente funzione in due variabili: $ f(x,y) = x/y log(xy) $

Il gradiente di una funzione (simbolo $nabla$) è definito come un vettore che ha come componenti le derivate parziali della funzione.

Per calcolare il gradiente, quindi, procediamo determinando le derivate parziali della funzione.

La derivata parziale rispetto ad $x$ si ottiene considerando come variabile $x$, mentre si considera $y$ come costante:

$ frac(df)(dx) (x,y) = frac(d)(dx) ( x/y log(xy) ) = 1/y * log(xy) + x/y * frac(1)(xy) * y$

Semplificando si ha:

$ 1/y * log(xy) + x/y * frac(1)(xy) * y= 1/y * log(xy) + frac(1)(y) = 1/y * (log(xy) + 1) $

Procediamo allo stesso modo determinando la derivata parziale della funzione rispetto ad $y$:

$ frac(df)(dy) (x,y) = frac(d)(dy) ( x/y log(xy) ) = -x/(y^2) * log(xy) + x/y * frac(1)(xy) * x $

Semplificando si ha:

$ -x/(y^2) * log(xy) + x/y * frac(1)(xy) * x = -x/(y^2) * log(xy) + frac(x)(y^2) = $

$ – frac(x)(y^2) * (log(xy) – 1) $

Il gradiente della funzione $f$ è dato quindi dalla seguente espressione:

$ nabla f(x,y) = ( 1/y * (log(xy) + 1) , – frac(x)(y^2) * (log(xy) – 1) ) $

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