[math]\nabla[/math]
) è definito come un vettore che ha come componenti le derivate parziali della funzione.Per calcolare il gradiente, quindi, procediamo determinando le derivate parziali della funzione.
La derivata parziale rispetto ad
[math]x[/math]
si ottiene considerando come variabile [math]x[/math]
, mentre si considera [math]y[/math]
come costante:
[math] \frac{df}{dx} (x,y) = \frac{d}{dx} ( x/y \log{xy} ) = 1/y \cdot \log(xy) + x/y \cdot \frac{1}{xy} \cdot y[/math]
Semplificando si ha:
[math] \frac{1}{y} \cdot \log{xy} + \frac{x}{y} \cdot \frac{1}{xy} \cdot y= 1/y \cdot \log(xy) + \frac{1}{y} = \frac{1}{y} \cdot (\log{xy} + 1) [/math]
Procediamo allo stesso modo determinando la derivata parziale della funzione rispetto ad
[math]y[/math]
:
[math] \frac{df}{dy} (x,y) = \frac{d}{dy} ( \frac{x}{y} \log{xy} ) = -\frac{x}{y^2} \cdot \log(xy) + \frac{x}{y} \cdot \frac{1}{xy} \cdot x [/math]
Semplificando si ha:
[math] -\frac{x}{y^2} \cdot \log(xy) + \frac{x}{y} \cdot \frac{1}{xy} \cdot x = -\frac{x}{y^2} \cdot \log{xy} + \frac{x}{y^2} = [/math]
[math] - \frac{x}{y^2} \cdot (\log{xy} - 1) [/math]
Il gradiente della funzione
[math]f[/math]
è dato quindi dalla seguente espressione:
[math] \nabla f(x,y) = ( \frac{1}{y} \cdot (\log{xy} + 1) , - \frac{x}{y^2} \cdot (\log{xy} - 1) ) [/math]
