Calcolare il gradiente della seguente funzione in due variabili: $ f(x,y) = y^(-x^2) $

Il gradiente di una funzione (simbolo $nabla$) è definito come un vettore che ha come componenti le derivate parziali della funzione.

Per calcolare il gradiente, quindi, procediamo determinando le derivate parziali della funzione.

Per semplicità, possiamo scrivere la funzione in modo diverso, ricordando le proprietà degli esponenziali e dei logaritmi, per cui si ha:

$ y^(-x^2) = e^(-x^2 log(y)) $

Procediamo, quindi, calcolando le derivate parziali.

La derivata parziale rispetto ad x si ottiene considerando come variabile $x$, mentre si considera $y$ come costante:

$ frac(df)(dx) (x,y) = frac(d)(dx) ( e^(-x^2 log(y)) ) = e^(-x^2 log(y)) * (-2x log(y)) $

Procediamo allo stesso modo determinando la derivata parziale della funzione rispetto ad $y$:

$ frac(df)(dy) (x,y) = frac(d)(dy) ( e^(-x^2 log(y)) ) = e^(-x^2 log(y)) * frac(-x^2)(y) $

Il gradiente della funzione $f$ è dato quindi dalla seguente espressione:

$ nabla f(x,y) = ( e^(-x^2 log(y)) * (-2x log(y)) , e^(-x^2 log(y)) * frac(-x^2)(y) ) $

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