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di _stan
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Le curve e le superfici sono particolari funzioni che descrivono, in modo matematicamente rigoroso, oggetti geometrici mono e bidimensionali che sono parte integrante della nostra esperienza quotidiana. Gran parte dei concetti visti nello studio di funzione per una sola variabile si possono estendere anche alle funzioni di più variabili. Vedremo in questo appunto come calcolare le derivate parziali del primo ordine e quindi il vettore gradiente.

Generalità sulle funzioni di due variabili

In fisica, in economia e in diverse altre discipline ci sono molte grandezze che dipendono da più di una variabile.
Facciamo due semplici esempi:
Il volume occupato da un gas dipende dalla pressione (p) e dalla temperatura (T), la funzione volume V è:

[math]V=f(p,T)[/math]

Lo sconto applicato ad un oggetto acquistato dipende dal prezzo (p) e dalla percentuale di sconto (s) applicata, in questo caso la funzione sconto è:

[math]S=f(p,s)[/math]

Una funzione reale di due variabili reali è una relazione che associa ad ogni coppia ordinata di numeri reali che appartengono a un sottoinsieme di

[math]\Re^2[/math]
, uno e un solo numero reale z. In simboli matematici possiamo scrivere come segue:

[math]z=f(x,y)[/math]

La scrittura

[math]z=3x+2xy[/math]
è un esempio di funzione di due variabili, x e y sono le variabili indipendenti, z è la variabile dipendente.
Nello spazio cartesiano il grafico di una funzione
[math]z=f(x,y)[/math]
è in generale una superficie dello spazio e quindi la sua rappresentazione è più complessa rispetto a quella del grafico di una funzione y=f(x), di una sola variabile.
Uno dei metodi utilizzati è quello della costruzione per punti, realizzato mediante un elaboratore elettronico. Con l’aiuto del computer si ottengono rapidamente grafici per punti, basati su un reticolo con un numero molto elevato di nodi. Si ottiene una rappresentazione parziale e approssimata ma si riesce ad avere un'idea dell'andamento della funzione. Nella figura sotto è rappresentato il procedimento.

Il grafico finale ha un aspetto del tipo seguente.

Un altro modo per rappresentare una superficie è quello delle linee di livello. Una linea di livello e l’insieme delle proiezioni ortogonali sul piano

[math]Oxy[/math]
dei punti di una superficie che hanno tutti la stessa quota
[math]z=k[/math]
. Nella figura successiva abbiamo a confronto i due tipi di rappresentazione.

Le mappe meteorologiche sono grafici di funzioni in due variabili con linee di livello, utilizzate per rappresentare la pressione atmosferica in funzione delle coordinate topografiche latitudine e longitudine. Le linee di livello sono dette isobare perché ciascuna di essa è formata da punti caratterizzati tutti dalla stessa pressione atmosferica. Ecco come sono le isobare.

Derivate parziali, definizione e significato geometrico

Per le funzioni di una sola variabile lo studio della derivata prima permette di conoscere se la funzione è crescente o decrescente e se ammette massimi o minimi.
Nel caso delle funzioni di due variabili si procede in maniera analoga studiando le derivate parziali.
Il concetto di derivata parziale è analogo a quello della derivata già vista per la funzione di una sola variabile. Anche la derivata parziale è un limite di rapporto incrementale se esiste. Poiché il dominio di una funzione di due variabili è costituito dai punti del piano il limite del rapporto incrementale deve essere calcolato rispetto ad entrambe le variabili.
L'operazione di derivazione si effettua in due step. Quando si deriva rispetto alla variabile x, si considera la variabile y come una costante; in maniera analoga quando si deriva rispetto alla variabile y, si considera la variabile x come una costante. Le derivate parziali vengono indicate con diversi simboli.
Per la derivata rispetto ad x abbiamo:
  • [math]z’_x[/math]
  • [math]f_x[/math]
  • [math]\frac {\partial f}{\partial x}[/math]
Per la derivata rispetto ad y abbiamo:
  • [math]z’_y[/math]
  • [math]f_y[/math]
  • [math]\frac {\partial f}{\partial y}[/math]
Se in un punto
[math]P(x;y)[/math]
del dominio esistono le derivate parziali prime si dice che la funzione è parzialmente derivabile nel punto.
Per le funzioni di una sola variabile la derivabilità implica la continuità. Questa proprietà non si estende alle funzioni di due variabili, l'esistenza delle derivate parziali non è una condizione sufficiente per la continuità di una funzione di due variabili.
Le derivate parziali di f in
[math]x_0[/math]
sono i coefficienti angolari delle rette tangenti al grafico di f nel punto di ascissa
[math]x_0[/math]
.

Gradiente della funzione di due variabili

Data la funzione f(x,y), definita in un sottoinsieme di
[math]\Re^2[/math]
, e sia
[math]P(x_0;y_0)[/math]
un punto del dominio. Se esistono la derivata parziale rispetto ad x e la derivata parziale rispetto ad y nel punto P, si può definire il gradiente della funzione valutato nel punto che ha per componenti proprio le due derivate parziali.
Il gradiente di f, o vettore gradiente viene indicato con l'operatore
[math]\nabla[/math]
leggi nabla, oppure con la scrittura
[math]grad f(x_0)[/math]
:

[math]\nabla f(x_0,y_0)=(f_x(x_0,y_0),f_y(x_0,y_0)[/math]

Se la funzione ha tre variabili allora il suo gradiente ha tre componenti che sono le tre derivate parziali. In generale, dunque, il gradiente di una funzione a più variabili è il vettore le cui componenti sono le derivate parziali di tutte le variabili indipendenti della funzione.
Il gradiente di una funzione in un punto, fornisce direzione e verso nei quali la funzione cresce più rapidamente.
Ricordiamo inoltre che per cercare i punti stazionari di una funzione di due variabili, bisogna imporre l'annullamento del gradiente. In pratica va risolto il sistema costituito dalle equazioni delle due derivate parziali prime.
Attraverso alcuni esempi numerici vediamo come si effettuano ora le derivate parziali e, quindi, come si costruisce il gradiente della funzione.

Per approfondimenti sulle funzioni di due variabili vedi qui

Esempio svolto sul calcolo del gradiente di una funzione di due variabili

Calcolare il gradiente della funzione
[math]f(x,y)=xy+x^2[/math]
nel punto di coordinate (2;0).
Procediamo nel calcolo delle due derivate parziali.
Deriviamo la funzione rispetto alla variabile x e teniamo y costante, la y è una costante moltiplicativa.

[math]f_x=y+2x[/math]

Procediamo in modo analogo calcolando la derivata parziale della funzione rispetto alla variabile y, tenendo costante la x:

[math]f_y=x[/math]

Ora possiamo scrivere il gradiente con le sue componenti:

[math]\nabla f(x_0,y_0)=(y+2x,x)[/math]

Valutiamo infine il valore del gradiente nel punto assegnato, sostituendo le coordinate di P nelle due derivate parziali:

[math]\nabla f(2,0)=(0+2\cdot 2,2)[/math]

ed infine:

[math]\nabla f(2,0)=(4,2)[/math]

Vedi qui altri esempi di calcolo del gradiente

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