Calcolare il gradiente della seguente funzione in due variabili nel punto $(2, 0)$: $ f(x,y) = xy + x^2 $

Il gradiente di una funzione, indicato con il simbolo $nabla$, è definito come un vettore che ha come componenti le derivate parziali della funzione.

Per calcolare il gradiente, quindi, procediamo determinando le derivate parziali della funzione.

La derivata parziale rispetto ad x si ottiene considerando come variabile $x$, mentre si considera $y$ come costante:

$ frac(df)(dx) (x,y) = frac(d)(dx) (xy + x^2) = y + 2x $

Procediamo in modo analogo determinando la derivata parziale della funzione rispetto ad $y$:

$ frac(df)(dy) (x,y) = frac(d)(dy) (xy + x^2) = x $

Quindi, il gradiente della funzione $f$ sarà dato dalla seguente espressione:

$ nabla f(x,y) = ( y + 2x , x ) $

Per calcolare il valore del gradiente in un preciso punto, basterà sostituire le coordinate del punto alla formula del gradiente:

$ nabla f(2,0) = ( 2*2 , 2 ) = ( 4 , 2 ) $

 

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