Calcolare il valore del seguente limite: $ lim_( (x,y) to (0,0) ) frac( log(1 + x^2 + y^2) )( x^2 + y^2 ) * (xy^2 + 2)$

Possiamo risolvere l’esercizio facendo riferimento al limite notevole seguente:

$ lim_(x to 0) frac(log(1+x))(x) = 1$

Infatti, anche in questo caso l’argomento del logaritmo si presenta come un termine che tende a zero ($x^2 + y^2$) sommato ad 1; possiamo quindi concludere che il primo fattore della funzione tende a 1:

$lim_( (x,y) to (0,0) ) frac( log(1 + x^2 + y^2) )( x^2 + y^2 ) = 1$

Il secondo fattore risulta facile da calcolare, in quanto non presenta forme di indecisione; abbiamo quindi:

$ lim_( (x,y) to (0,0) ) (xy^2 + 2) = 0*0^2 + 2 = 2$

Possiamo concludere che il valore finale del limite è il seguente:

$ lim_( (x,y) to (0,0) ) frac( log(1 + x^2 + y^2) )( x^2 + y^2 ) * (xy^2 + 2) = 1 * 2 = 2 $

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