Possiamo risolvere l'esercizio facendo riferimento al limite notevole seguente:
[math] \displaystyle \lim_{x \to 0} \frac{\\log(1+x)}{x} = 1[/math]
Infatti, anche in questo caso l'argomento del logaritmo si presenta come un termine che tende a zero (
[math]x^2 + y^2[/math]
) sommato ad 1; possiamo quindi concludere che il primo fattore della funzione tende a 1:
[math] \displaystyle \lim_{ (x,y) \to (0,0) } \frac{ \\log(1 + x^2 + y^2) }{ x^2 + y^2 } = 1[/math]
Il secondo fattore risulta facile da calcolare, in quanto non presenta forme di indecisione; abbiamo quindi:
[math] \displaystyle \lim_{ (x,y) \to (0,0) } {xy^2 + 2} = 0 \cdot 0^2 + 2 = 2[/math]
Possiamo concludere che il valore finale del limite il seguente:
[math] \displaystyle \lim_{ (x,y) \to (0,0) } \frac{ \\log(1 + x^2 + y^2) }{ x^2 + y^2 } \cdot (xy^2 + 2) = 1 \cdot 2 = 2 [/math]
