Calcolare il valore del seguente limite: $ lim_( (x,y) to (0,0) ) frac( x sin(xy) + arctg(x^2 + y^2) )( x^2 + y^2 ) $

Per la risoluzione di questo tipo di limiti occorre effettuare una sostituzione delle variabili; la sostituzione che si applica fa riferimento alle coordinate polari, ed è la seguente:

$ x = r cos(theta) $

$ y = r sin(theta) $

Poiché entrambe le variabili nel limite di partenza tendono a zero, con il cambio di coordinate faremo tendere la variabile r a zero:

$ lim_( r to 0 ) frac( r cos(theta) sin(r cos(theta) * r sin(theta)) + arctg((r cos(theta))^2 + (rsin(theta))^2) )( (r cos(theta))^2 + (r sin(theta))^2 ) $

Svolgiamo i quadrati:

$ lim_( r to 0 ) frac( r cos(theta) sin(r^2 cos(theta) * sin(theta)) + arctg( r^2 cos^2(theta) + r^2 sin^2(theta) ) )( r^2 cos^2(theta) + r^2 sin^2(theta) ) $

Possiamo effettuare un raccoglimento sia nell’argomento dell’arcotangente, sia al denominatore:

$ lim_( r to 0 ) frac( r cos(theta) sin(r^2 cos(theta) * sin(theta)) + arctg( r^2 (cos^2(theta) + sin^2(theta)) ) )( r^2 (cos^2(theta) + sin^2(theta)) ) $

Notiamo che compaiono delle espressioni che possono essere semplificate, per l’identità fondamentale di seno e coseno:

$ lim_( r to 0 ) frac( r cos(theta) sin(r^2 cos(theta) * sin(theta)) + arctg( r^2 ) )( r^2 ) $

Il limite presenta ancora una forma di indecisione, che è del tipo $0/0$; per risolverla, possiamo esprimere le funzioni che compaiono nei loro sviluppi di Taylor; essendo questi centrati in zero, possiamo sfruttare gli sviluppi fondamentali delle funzioni, che ricordiamo essere i seguenti:

$ sin(z) = z – frac(z^3)(6) + frac(z^5)(120) – … + frac((-1)^n z^(2n+1))((2n+1)!) + o(z^(2n+1)) $

$ arctan(z) = z – frac(z^3)(3) + frac(z^5)(5) – … + frac((-1)^n z^(2n+1))(2n+1) + o(z^(2n+2)) $

In questo caso, poiché al denominatore abbiamo un in\ufb01nitesimo di secondo ordine, dobbiamo cercare di sviluppare anche il numeratore al secondo ordine. Tuttavia, poiché l’argomento del seno presenta la variabile z al secondo grado, e la funzione è poi moltiplicata per z, ordine di infinitesimo più piccolo ottenibile è il terzo.

Abbiamo quindi il seguente sviluppo per la funzione seno:

$ sin(z) = z + o(z) $

Applicando la sostituzione $ z = r^2 cos(theta) * sin(theta)$, si ottiene:

$ sin(r^2 cos(theta) * sin(theta)) = r^2 cos(theta) * sin(theta) + o(r^2) $

Con un ragionamento analogo, abbiamo il seguente sviluppo per la funzione arcotangente:

$ arctan(z) = z + o(z^2) $

E la sostituzione necessaria è $ z = r^2$:

$ arctan(r^2) = r^2 + o((r^2)^2) = r^2 + o(r^4)$

Procediamo quindi riportando tutti gli sviluppi trovati all’interno del nostro limite:

$ lim_( r to 0 ) frac( r cos(theta) (r^2 cos(theta) * sin(theta) + o(r^2)) + r^2 + o(r^4) )( r^2 ) = $

Moltiplichiamo:

$ lim_( r to 0 ) frac( r^3 cos^2(theta) * sin(theta) + o(r^3) + r^2 + o(r^4) )( r^2 ) = $

Possiamo eliminare $o(r^4) $, data la presenza di $o(r^3) $ :

$ lim_( r to 0 ) frac( r^3 cos^2(theta) * sin(theta) + r^2 + o(r^3) )( r^2 ) = $

Possiamo procedere mettendo in evidenza il termine $r^2$:

$ lim_( r to 0 ) frac( r^2 (r cos^2(theta) * sin(theta) + 1 + o(r) ) )( r^2 ) = $

Semplifichiamo con il denominatore:

$ lim_( r to 0 ) r cos^2(theta) * sin(theta) + 1 + o(r) $

Possiamo quindi determinare il valore del limite:

$ lim_( r to 0 ) r cos^2(theta) * sin(theta) + 1 + o(r) = 1 $

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