Per la risoluzione di questo tipo di limiti occorre effettuare una sostituzione delle variabili; la sostituzione che si applica fa riferimento alle coordinate polari, ed è la seguente:
[math] x = r \\cos(\theta) [/math]
[math] y = r \\sin(\theta) [/math]
Poiché entrambe le variabili nel limite di partenza tendono a zero, con il cambio di coordinate faremo tendere la variabile r a zero:
[math] \displaystyle \lim_{ r \to 0 } \frac{ r \\cos(\theta) \\sin(r \\cos(\theta) \cdot r \\sin(\theta)) + arctg((r \\cos(\theta))^2 + (r\\sin(\theta))^2) }{ (r \\cos(\theta))^2 + (r \\sin(\theta))^2 } [/math]
Svolgiamo i quadrati:
[math] \displaystyle \lim_{ r \to 0 } \frac{ r \\cos(\theta) \\sin(r^2 \\cos(\theta) \cdot \\sin(\theta)) + arctg( r^2 \\cos^2(\theta) + r^2 \\sin^2(\theta) ) }{ r^2 \\cos^2(\theta) + r^2 \\sin^2(\theta) } [/math]
Possiamo effettuare un raccoglimento sia nell'argomento dell'arcotangente, sia al denominatore:
[math] \displaystyle \lim_{ r \to 0 } \frac{ r \\cos(\theta) \\sin(r^2 \\cos(\theta) \cdot \\sin(\theta)) + arctg( r^2 (\\cos^2(\theta) + \\sin^2(\theta)) ) }{ r^2 (\\cos^2(\theta) + \\sin^2(\theta)) } [/math]
Notiamo che compaiono delle espressioni che possono essere semplificate, per l'identità fondamentale di seno e coseno:
[math] \displaystyle \lim_{ r \to 0 } \frac{ r \\cos(\theta) \\sin(r^2 \\cos(\theta) \cdot \\sin(\theta)) + arctg( r^2 ) }{ r^2 } [/math]
Il limite presenta ancora una forma di indecisione, che è del tipo
[math]0/0[/math]
; per risolverla, possiamo esprimere le funzioni che compaiono nei loro sviluppi di Taylor; essendo questi centrati in zero, possiamo sfruttare gli sviluppi fondamentali delle funzioni, che ricordiamo essere i seguenti:
.
[math] \\sin(z) = z - \frac{z^3}{6} + \frac{z^5}{120} - ...
+ \frac{(-1)^n z^{2n+1}}{{2n+1}!} + o(z^{2n+1}) [/math]
[math] arc\\tan(z) = z - \frac{z^3}{3} + \frac{z^5}{5} - ... + \frac{(-1)^n z^{2n+1}}{2n+1} + o(z^{2n+2}) [/math]
In questo caso, poiché al denominatore abbiamo un infinitesimo di secondo ordine, dobbiamo cercare di sviluppare anche il numeratore al secondo ordine. Tuttavia, poiché l'argomento del seno presenta la variabile z al secondo grado, e la funzione poi moltiplicata per z, ordine di infinitesimo pi piccolo ottenibile il terzo.
Abbiamo quindi il seguente sviluppo per la funzione seno:
[math] \\sin(z) = z + o(z) [/math]
Applicando la sostituzione
[math] z = r^2 \\cos(\theta) \cdot \\sin(\theta)[/math]
, si ottiene:
[math] \\sin(r^2 \\cos(\theta) \cdot \\sin(\theta)) = r^2 \\cos(\theta) \cdot \\sin(\theta) + o(r^2) [/math]
Con un ragionamento analogo, abbiamo il seguente sviluppo per la funzione arcotangente:
[math] arc\\tan(z) = z + o(z^2) [/math]
E la sostituzione necessaria è
[math] z = r^2[/math]
:
[math] arc\\tan(r^2) = r^2 + o((r^2)^2) = r^2 + o(r^4)[/math]
Procediamo quindi riportando tutti gli sviluppi trovati all'interno del nostro limite:
[math] \displaystyle \lim_{ r \to 0 } \frac{ r \\cos(\theta) (r^2 \\cos(\theta) \cdot \\sin(\theta) + o(r^2)) + r^2 + o(r^4) }{ r^2 } = [/math]
Moltiplichiamo:
[math] \displaystyle \lim_{ r \to 0 } \frac{ r^3 \\cos^2(\theta) \cdot \\sin(\theta) + o(r^3) + r^2 + o(r^4) }{ r^2 } = [/math]
Possiamo eliminare
[math]o(r^4) [/math]
, data la presenza di
[math]o(r^3) [/math]
:
[math] \displaystyle \lim_{ r \to 0 } \frac{ r^3 \\cos^2(\theta) \cdot \\sin(\theta) + r^2 + o(r^3) }{ r^2 } = [/math]
Possiamo procedere mettendo in evidenza il termine
[math]r^2[/math]
:
[math] \displaystyle \lim_{ r \to 0 } \frac{ r^2 (r \\cos^2(\theta) \cdot \\sin(\theta) + 1 + o(r) ) }{ r^2 } = [/math]
Semplifichiamo con il denominatore:
[math] \displaystyle \lim_{ r \to 0 } r \\cos^2(\theta) \cdot \\sin(\theta) + 1 + o(r) [/math]
Possiamo quindi determinare il valore del limite:
[math] \displaystyle \lim_{ r \to 0 } r \\cos^2(\theta) \cdot \\sin(\theta) + 1 + o(r) = 1 [/math]
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