Per la risoluzione di questo tipo di limiti occorre effettuare una sostituzione delle variabili; la sostituzione che si applica fa riferimento alle coordinate polari, ed la seguente:
[math] x = r \\cos(\theta) [/math]
[math] y = r \\sin(\theta) [/math]
Poiché entrambe le variabili nel limite di partenza tendono a zero, con il cambio di coordinate faremo tendere la variabile r a zero:
[math] \displaystyle \lim_{ r \to 0 } \frac{ r \\cos(\theta) (r \\sin(\theta))^2 \\log((r \\cos(\theta))^2 + (r \\sin(\theta))^2) }{ (r\\cos(\theta))^2 + (r \\sin(\theta))^2 } [/math]
Procediamo svolgendo i quadrati:
[math] \displaystyle \lim_{ r \to 0 } \frac{ r \\cos(\theta) r^2 \\sin^2(\theta) \cdot \\log( r^2 \\cos^2(\theta) + r^2 \\sin^2(\theta) ) }{ r^2\\cos^2(\theta) + r^2 \\sin^2(\theta)} = [/math]
Possiamo effettuare dei raccoglimenti totali all'interno del logaritmo e al denominatore della frazione:
[math] \displaystyle \lim_{r \to 0 } \frac{ r^3 \\cos(\theta) \\sin^2(\theta) \cdot \\log( r^2 (\\cos^2(\theta) + \\sin^2(\theta)) ) }{ r^2 ( \\cos^2(\theta) + \\sin^2(\theta)) } = [/math]
Dall'identità fondamentale di seno e coseno, otteniamo un'ulteriore semplificazione:
[math] \displaystyle \lim_{ r \to 0 } \frac{ r^3 \\cos(\theta) \\sin^2(\theta) \cdot \\log( r^2) }{ r^2 } = [/math]
[math] \displaystyle \lim_{ r \to 0 } \frac{ r^3 \\cos(\theta) \\sin^2(\theta) \cdot 2\\log(r) }{ r^2 } [/math]
Semplifichiamo numeratore con denominatore:
[math] \displaystyle \lim_{ r \to 0 } r \\cos(\theta) \\sin^2(\theta) \cdot 2\\log(r) = [/math]
Possiamo infine determinare il valore del limite; abbiamo una forma di indeterminazione del tipo
[math]0 \cdot +oo[/math]
, per possiamo semplicemente risolverla.
Notiamo, infatti, che possibile scrivere il limite nei seguente modo:
[math] \displaystyle \lim_{ r \to 0 } \frac{\\log(r)}{1/r} 2\\cos(\theta) \\sin^2(\theta) [/math]
e poiché
[math]1/r[/math]
va a infinito più velocemente di
[math]\\log(r)[/math]
, concludiamo che il valore del limite è 0.
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