Calcolare il valore del seguente limite: $ lim_( (x,y) to (0,0) ) frac( xy^2 log(x^2 + y^2) )( x^2 + y^2 ) $

Per la risoluzione di questo tipo di limiti occorre effettuare una sostituzione delle variabili; la sostituzione che si applica fa riferimento alle coordinate polari, ed è la seguente:

$ x = r cos(theta) $

$ y = r sin(theta) $

Poiché entrambe le variabili nel limite di partenza tendono a zero, con il cambio di coordinate faremo tendere la variabile r a zero:

$ lim_( r to 0 ) frac( r cos(theta) (r sin(theta))^2 log((r cos(theta))^2 + (r sin(theta))^2) )( (rcos(theta))^2 + (r sin(theta))^2 ) $

Procediamo svolgendo i quadrati:

$ lim_( r to 0 ) frac( r cos(theta) r^2 sin^2(theta) * log( r^2 cos^2(theta) + r^2 sin^2(theta) ) )( r^2cos^2(theta) + r^2 sin^2(theta)) = $

Possiamo effettuare dei raccoglimenti totali all’interno del logaritmo e al denominatore della frazione:

$ lim_( r to 0 ) frac( r^3 cos(theta) sin^2(theta) * log( r^2 (cos^2(theta) + sin^2(theta)) ) )( r^2 ( cos^2(theta) + sin^2(theta)) ) = $

Dall’identità fondamentale di seno e coseno otteniamo un’ulteriore semplificazione:

$ lim_( r to 0 ) frac( r^3 cos(theta) sin^2(theta) * log( r^2) )( r^2 ) = $

$ lim_( r to 0 ) frac( r^3 cos(theta) sin^2(theta) * 2log(r) )( r^2 ) = $

Semplifichiamo numeratore con denominatore:

$ lim_( r to 0 ) r cos(theta) sin^2(theta) * 2log(r) = $

Possiamo infine determinare il valore del limite; abbiamo una forma di indeterminazione del tipo $0 * +oo$, però possiamo semplicemente risolverla.

Notiamo, infatti, che è possibile scrivere il limite nei seguente modo:

$ lim_( r to 0 ) frac(log(r))(1/r) 2cos(theta) sin^2(theta) $

e poiché $1/r$ va a infinito più velocemente di $log(r)$, concludiamo che il valore del limite è 0.

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