Calcolare il valore del seguente limite: $ lim_( (x,y) to (0,0) ) frac(e^(2x^2) – cos(2y))(x^2 + y^2) $

Per la risoluzione di questo tipo di limiti occorre effettuare una sostituzione delle variabili; la sostituzione che si applica fa riferimento alle coordinate polari, ed è la seguente:

$ x = r cos(theta) $

$ y = r sin(theta) $

Poiché entrambe le variabili nel limite di partenza tendono a zero, con il cambio di coordinate faremo tendere la variabile r a zero:

$ lim_( r to 0 ) frac(e^(2 (r cos(theta))^2) – cos(2(r sin(theta))))((r cos(theta))^2 + (r sin(theta))^2) = $

Procediamo calcolando i quadrati:

$ lim_( r to 0 ) frac( e^(2 r^2 cos^2(theta)) – cos(2r sin(theta)) )( r^2 cos^2(theta) + r^2 sin^2(theta)) = $

Al denominatore raccogliamo $r^2$ e riconosciamo la somma di coseno e seno al quadrato, che fa uno:

$ lim_( r to 0 ) frac( e^(2 r^2 cos^2(theta)) – cos(2r sin(theta)) )( r^2 ) = $

Ora, cercando di calcolare il limite, notiamo una forma indeterminata del tipo $0/0$; possiamo risolvere questa situazione calcolando gli sviluppi di Taylor delle funzioni presenti; poiché il centro dello sviluppo sarà zero, possiamo applicare le regole degli sviluppi fondamentali, che ricordiamo essere:

$ e^z = 1 + z + frac(z^2)(2) + frac(z^3)(6) + … + frac(z^n)(n!) + o(z^n) $

$ cos(z) = 1 – frac(z^2)(2) + frac(z^4)(24) – … + frac((-1)^n z^(2n))((2n)!) + o(z^(2n)) $

Poiché il denominatore è un in\ufb01nitesimo di secondo ordine, possiamo calcolare gli sviluppi del numeratore fermandoci al secondo ordine nel caso del coseno:

$ cos(z) = 1 – frac(z^2)(2) + o(z^2) $

Applicando la sostituzione $z = 2r sin(theta)$ si ha:

$ cos(2r sin(theta)) = 1 – frac((2r sin(theta))^2)(2) + o(r^2) = 1 – 1/2 * 4 r^2 sin^2(theta) + o(r^2) = $

$ 1 – 2 r^2 sin^2(theta) + o(r^2) $

Nel caso del seno, avendo una sostituzione diversa, possiamo fermarci al primo ordine:

$ e^z = 1 + z + o(z) $

Sostituiamo $z = 2r^2 cos^2(theta)$:

$ e^(2r^2 cos^2(theta)) = 1 + 2r^2 cos^2(theta) + o(r^2) $

Possiamo ora sostituire queste espressioni all’interno del nostro limite:

$ lim_( r to 0 ) frac( 1 + 2r^2 cos^2(theta) + o(r^2) – [1 – 2 r^2 sin^2(theta) + o(r^2)] )( r^2 ) = $

Procediamo semplificando il numeratore:

$ lim_( r to 0 ) frac( 1 + 2r^2 cos^2(theta) + o(r^2) – 1 + 2 r^2 sin^2(theta) + o(r^2) )( r^2 ) = $

$ lim_( r to 0 ) frac( 2r^2 cos^2(theta) + 2 r^2 sin^2(theta) + o(r^2) )( r^2 ) = $

Mettendo in evidenza il fattore $2r^2$ e riconoscendo la somma dei quadrati di seno e coseno, possiamo determinare il valore finale del limite:

$ lim_( r to 0 ) frac( 2r^2 (cos^2(theta) + sin^2(theta)) + o(r^2) )( r^2 ) = $

$ lim_( r to 0 ) frac( 2r^2 + o(r^2) )( r^2 ) = 2 $

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