Esercizio sulla continuità ed esistenza delle derivate parziali

Data la funzione \( f :\, \mathbb{R}^2 \rightarrow \mathbb{R} \) definita da:

\[ f(x; y) = \begin{cases} xy && y \ne 2x \\ 2y && y=2x \end{cases} \]

studiarne continuità ed esistenza delle derivate parziali.

La funzione $f$ è certamente continua nei punti di \(\mathbb{R}^2\) non appartenenti alla retta d’equazione $y = 2x$; resta da studiare la continuità di $f$ nei punti di tale retta, cioè nei punti del tipo \((t; 2t)\) con \(t \in \mathbb{R}\). In tutti questi punti $f$ assume valore $2$, ma in ogni intorno di essi (esclusi i punti stessi) $f$ vale $xy$ ed il limite, per \((x;y) \rightarrow (t;2t)\), di $f$ è uguale a $2t^2$.; la funzione $f$ è quindi continua quando $2t^2=2$, ossia se \(t = \pm 1\). Pertanto gli unici punti della retta $y = 2x$ in cui $f$ è continua sono \((-1; -2)\) e \((1; 2)\).

Si può avere una conferma di quest’ultimo risultato osservando in quali punti la linea di livello 2 della funzione $z = xy$ (che è l’iperbole d’equazione $xy = 2$ rappresentata in figura) incontra la retta di equazione $y = 2x$.

Grafico iperbole e retta y=2x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Nei punti di \(\mathbb{R}^2\) non appartenenti alla retta d’equazione $y = 2x$ le derivate parziali esistono e risulta \(f’_x = y\) , \(f’_y = x\); per stabilirne l’esistenza nei punti di tale retta occorre calcolare i seguenti limiti:

\( \displaystyle \lim_{h\rightarrow 0} \frac{f(t+h; 2t)-f(t;2t)}{h} = \lim_{h\rightarrow 0} \frac{(t+h)2t-2}{h} ) = \lim_{h\rightarrow 0} \frac{t^2+th-1}{h} = \begin{cases} \infty && t \ne \pm 1 \\ 2 && t=1 \\ -2 && t = -1 \end{cases} \)

\(\displaystyle \lim_{h\rightarrow 0} \frac{f(t; 2t+h)-f(t;2t)}{h} = \lim_{h\rightarrow 0} \frac{t(2t+h)-2}{h} ) = \lim_{h\rightarrow 0} \frac{2t^2+th-2}{h} = \begin{cases} \infty && t \ne \pm 1 \\ 2 && t=1 \\ -2 && t = -1 \end{cases} \)

Ne segue che, nei punti della retta in questione, le derivate parziali esistono solo in \((-1; -2)\) e in \((1; 2)\).

Risulta: \(f’_x(-1; -2) = -2\) , \(f’_y(-1; -2) = -2\), \(f’_x(1; 2) = 2\), \(f’_y(1; 2) = 2\).

 

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