[math] f :\, \mathbb{R}^2 \rightarrow \mathbb{R} [/math]
definita da:
[math] f(x; y) = \begin{cases} xy && y \ne 2x \\ 2y && y=2x \end{cases} [/math]
studiarne continuità ed esistenza delle derivate parziali.
La funzione
[math]f[/math]
è certamente continua nei punti di [math]\mathbb{R}^2[/math]
non appartenenti alla retta d'equazione [math]y = 2x[/math]
; resta da studiare la continuità di [math]f[/math]
nei punti di tale retta, cioè nei punti del tipo [math](t; 2t)[/math]
con [math]t \in \mathbb{R}[/math]
. In tutti questi punti [math]f[/math]
assume valore [math]2[/math]
, ma in ogni intorno di essi (esclusi i punti stessi) [math]f[/math]
vale [math]xy[/math]
ed il limite, per [math](x;y) \rightarrow (t;2t)[/math]
, di [math]f[/math]
è uguale a [math]2t^2[/math]
.; la funzione [math]f[/math]
è quindi continua quando [math]2t^2=2[/math]
, ossia se [math]t = \pm 1[/math]
. Pertanto gli unici punti della retta [math]y = 2x[/math]
in cui [math]f[/math]
è continua sono [math](-1; -2)) e ((1; 2)[/math]
.Si può avere una conferma di quest'ultimo risultato osservando in quali punti la linea di livello 2 della funzione
[math]z = xy[/math]
(che è l'iperbole d'equazione [math]xy = 2[/math]
rappresentata in figura) incontra la retta di equazione [math]y = 2x[/math]
.
Nei punti di
[math]\mathbb{R}^2[/math]
non appartenenti alla retta d'equazione [math]y = 2x[/math]
le derivate parziali esistono e risulta [math]f'_x = y , f'_y = x;[/math]
per stabilirne l'esistenza nei punti di tale retta occorre calcolare i seguenti limiti:
[math] \displaystyle \lim_{h\rightarrow 0} \frac{f(t+h; 2t)-f(t;2t)}{h} = \lim_{h\rightarrow 0} \frac{(t+h)2t-2}{h} ) [/math]
[math]= \displaystyle \lim_{h\rightarrow 0} \frac{t^2+th-1}{h} = \begin{cases} \infty && t \ne \pm 1 \\ 2 && t=1 \\ -2 && t = -1 \end{cases} [/math]
[math] \displaystyle \lim_{h\rightarrow 0} \frac{f(t; 2t+h)-f(t;2t)}{h} = \lim_{h\rightarrow 0} \frac{t(2t+h)-2}{h} ) [/math]
[math]= \displaystyle \lim_{h\rightarrow 0} \frac{2t^2+th-2}{h} = \begin{cases} \infty && t \ne \pm 1 \\ 2 && t=1 \\ -2 && t = -1 \end{cases} [/math]
Ne segue che, nei punti della retta in questione, le derivate parziali esistono solo in
[math](-1; -2)[/math]
e in [math](1; 2)[/math]
.Risulta:
[math]f'_x(-1; -2) = -2 , f'_y(-1; -2) = -2, f'_x(1; 2) = 2, f'_y(1; 2) = 2[/math]
.
