Testo dell'esercizio
Considera la retta passante per[math] A(0; 5) [/math]
e [math] B(-2; -3) [/math]
. Determina su tale retta un punto [math] C [/math]
la cui ascissa è tripla dell'ordinata. Considera la retta parallela all'asse [math] x [/math]
passante per [math] A [/math]
e la retta parallela all'asse [math] y [/math]
passante per [math] B [/math]
. Determina il punto [math] D [/math]
di intersezione di queste due rette e calcola l'area del triangolo [math] DAC [/math]
.
Determinazione dell'equazione della retta AB
Sappiamo che l'equazione della retta in forma esplicita è[math] y = mx + q [/math]
. Ricordiamo che la formula per la determinazione dell'equazione di una retta date le coordinate dei punti per i quali essa passa è:[math] \frac{y - y_2}{y_1 - y_2} = \frac{x - x_2}{x_1 - x_2} [/math]
[math] \frac{y + 3}{8} = \frac{x + 2}{2} [/math]
[math] 2y + 6 = 8x + 16 \rightarrow 2y = 8x + 10[/math]
[math] 2 [/math]
otterremo l'equazione della retta in forma esplicita:[math] y = 4x + 5 [/math]
Per approfondimenti sulla determinazione del'equazione di una retta, vedi anche qua
Determinazione di ascissa e ordinata del punto C
Il problema ci chiede di determinare le coordinate di un certo punto[math] C [/math]
avente ascissa pari al triplo dell'ordinata.Il punto
[math] C [/math]
sarà quindi della forma [math] C (3a; a) [/math]
dove [math] a [/math]
è un parametro reale che determineremo. L'equazione della nostra retta di partenza era [math] y = 4x + 5 [/math]
. Sappiamo che sostituendo l'ascissa alla variabile [math] x [/math]
otterremo [math] y [/math]
. Quindi, in definitiva, avremo da risolvere l'equazione:[math] a = 4 \cdot 3a + 5 \rightarrow a = 12a + 5 \rightarrow a = -\frac{5}{11} [/math]
[math] C [/math]
avrà quindi coordinate [math] C (-\frac{15}{11}; -\frac{5}{11}) [/math]
.
Determinazione della retta passante per A parallela all'asse x
Anche nota come asse delle ascisse, l'asse[math] x [/math]
ha equazione [math] y = 0 [/math]
. In generale, invece, ogni retta parallela all'asse [math] x [/math]
avrà equazione del tipo [math] y = k [/math]
dove [math] k [/math]
è un qualsiasi parametro reale.Il problema ci chiede di determinare una retta siffatta che passi per il punto
[math] A (0; 5) [/math]
. Essendo l'ordinata di [math] A [/math]
pari a [math] 5 [/math]
, tutti i punti aventi ordinata pari a [math] 5 [/math]
faranno parte della retta. Segue che la retta in questione è [math] y = 5 [/math]
Determinazione della retta passante per B parallela all'asse y
Anche nota come asse delle ordinate, l'asse[math] y [/math]
ha equazione [math] x = 0 [/math]
. Con ragionamento analogo al paragrafo precedente, notiamo che [math] B (-2; -3) [/math]
quindi tutti i punti aventi ascissa pari a [math] -2 [/math]
fanno parte della retta di nostro interesse, che avrà quindi equazione [math] x = -2 [/math]
.
Calcolo delle coordinate del punto D
Il punto[math] D [/math]
è definito come l'intersezione tra le due rette determinate nei punti precedenti. L'intersezione tra la retta [math] x = -2 [/math]
e la retta [math] y = 5 [/math]
sarà un punto che avrà ascissa [math] -2 [/math]
e ordinata [math] 5 [/math]
; quindi necessariamente [math] D (-2; 5) [/math]
.
Calcolo dell'area del triangolo DAC
Quest'ultima richiesta è un po' particolare. Infatti, per determinare l'area di un triangolo è necessario calcolare il determinante di una matrice 3x3. Gli elementi della matrice sono le coordinate dei tre punti, così sistemati:[math] \begin{bmatrix} x_A & y_A & 1 \\ x_B & y_B & 1 \\ x_C & y_C & 1 \end{bmatrix} [/math]
Si dovrebbe quindi calcolare il determinante della matrice:
[math] \begin{bmatrix} -2 & 5 & 1 \\ 0 & 5 & 1 \\ -\frac{15}{11} & -\frac{5}{11} & 1 \end{bmatrix} [/math]
[math] 0 - (-2) = 2 [/math]
e altezza pari a [math] 5 - (-\frac{5}{11} = \frac{60}{11}[/math]
.Ricordando che l'area di un triangolo è data dal semiprodotto tra base e altezza, calcoliamo quindi:
[math] A = \frac{2 \cdot \frac{60}{11}}{2} = \frac{60}{11} [/math]
Per approfondimenti sul calcolo dell'area di un triangolo nel piano cartesiano, vedi anche qua
