Determinare per quale valore del parametro
[math]k[/math]
la retta del fascio
[math](k - 1)x + 3 ky - 5k = 0 [/math]
forma con il semiasse positivo delle ascisse:
- un angolo di [math]30[/math];
- un angolo di [math]45[/math];
- un angolo di [math]60[/math];
- un angolo [math]alpha[/math]tale che[math] \\cos(alpha) = - frac(1)(\sqrt5) [/math]
Svolgimento (1)
In questo caso, sappiamo che langolo in questione, che chiamiamo[math]x[/math]
, formato da una retta del fascio con il semiasse positivo delle ascisse misura [math]30[/math]
.Poich questo un angolo noto, sappiamo le sue funzioni goniometriche:
[math] \\cos(x) = \\cos(30) = frac(\sqrt3){2} [/math]
[math] \\sin(x) = \\sin(30) = frac(1)(2) [/math]
[math] tg(x) = frac(\\sin(x))(\\cos(x)) = frac(1/2)(frac(\sqrt3){2}) = 1/2 \cdot frac{2}(\sqrt3) = frac(1)(\sqrt3) = frac(\sqrt3)(3) [/math]
Sappiamo che la tangente dellangolo corrisponde al coefficiente angolare della retta, quindi:
[math] tg(x) = m [/math]
Sapendo che il coefficiente angolare di una retta dato dalla formula
[math] m = - a/b [/math]
ricaviamo il coefficiente angolare del fascio in funzione di
[math]k[/math]
:
[math] m = - frac(k - 1)(3k) [/math]
Uguagliamo il valore della tangente al coefficiente angolare per trovare k:
[math] - frac(k - 1)(3k) = frac(\sqrt3){3} [/math]
Poniamo
[math]k != 0[/math]
:
[math] - k + 1 = \sqrt3 k [/math]
[math] - k + 1 - \sqrt3 k = 0[/math]
[math] (1 + \sqrt3) k - 1 = 0 o k = frac{1}(1 + \sqrt3) [/math]
Razionalizziamo:
[math] k = frac(1)(1 + \sqrt3) \cdot frac{1 - \sqrt3}{1 - \sqrt3} = frac{1 - \sqrt3}((1 + \sqrt3){1 - \sqrt3}) = [/math]
[math] frac(1 - \sqrt3){1 - 3} = frac(1 - \sqrt3)(- 2) = frac(\sqrt3 - 1)(2) [/math]
Svolgimento (2)
Applichiamo lo stesso procedimento nel caso in cui langolo formato sia di[math]45[/math]
:
[math] \\cos(y) = \\cos(45) = frac(\sqrt2){2} [/math]
[math] \\sin(y) = \\sin(45) = frac(\sqrt2){2} [/math]
[math] tg(y) = frac(\\sin(x))(\\cos(x)) = frac (frac(\sqrt2){2})(frac(\sqrt2){2}) = frac(\sqrt2){2} \cdot frac{2}(\sqrt2) = 1 [/math]
[math] tg(y) = m = - frac(k - 1)(3k) [/math]
[math] - frac(k - 1)(3k) = 1[/math]
[math] - frac(k - 1)(3k) - 1 = 0 [/math]
[math] - k + 1 - 3k = 0 o k = 1/4 [/math]
Svolgimento (3)
Applichiamo lo stesso procedimento nel caso in cui langolo formato sia di[math]60[/math]
:
[math] \\cos(gamma) = \\cos(60) = frac(1)(2) [/math]
[math] \\sin(gamma) = \\sin(60) = frac(\sqrt3){2} [/math]
[math] tg(gamma) = frac(\\sin(x))(\\cos(x)) = frac (frac(\sqrt3){2})(frac(1){2}) = frac(\sqrt3){2} \cdot 2 = \sqrt3 [/math]
[math] tg(gamma) = m = - frac(k - 1)(3k) [/math]
[math] - frac(k - 1)(3k) = \sqrt3 [/math]
[math] - frac(k - 1)(3k) - \sqrt3 = 0 [/math]
[math] - k + 1 - 3\sqrt3 k = 0 [/math]
[math] (1 + 3\sqrt3) k - 1 = 0 o k = frac{1}(1 + 3\sqrt3) [/math]
Razionalizziamo:
[math]k = frac(1)(1 + 3\sqrt3) \cdot frac{1 - 3\sqrt3}{1 - 3\sqrt3} = frac{1 - 3\sqrt3}((1 + 3\sqrt3){1 - 3\sqrt3}) = [/math]
[math] frac(1 - 3\sqrt3){1- 27} = frac(1 - 3\sqrt3)(- 26) = frac(3\sqrt3 - 1)(26) [/math]
Svolgimento (4)
Troviamo ora il valore di[math]k[/math]
nel caso in cui langolo formato sia un angolo [math]alpha[/math]
tale che [math]\\cos(alpha) = - frac(1)(\sqrt5) [/math]
. Troviamo il suo seno e la tangente:
[math] \\sin(alpha) = \sqrt{1 - \\cos^2(alpha)} = \sqrt(1 - (- frac(1)(\sqrt5))^2) = \sqrt(1 - 1/5) = [/math]
[math] \sqrt{4/5} = frac(2)(\sqrt5) [/math]
[math] tg(alpha) = frac(\\sin(x))(\\cos(x)) = frac (frac(2)(\sqrt5)){-frac(1)(\sqrt5)} = frac(2)(\sqrt5) \cdot (- \sqrt5) = -2 [/math]
Uguagliamo questo valore della tangente al coefficiente angolare del fascio:
[math] - frac(k - 1)(3k) = -2 [/math]
[math] frac(k - 1)(3k) = 2 [/math]
[math] frac(k - 1)(3k) - 2 = 0 [/math]
[math] k - 1 - 6k = 0 o k = - 1/5[/math]