Determinare per quali valori del parametro k la
circonferenza di equazione
[math]x^2 + y^2 - 2(k-1)x + 2ky + k - 4 = 0 [/math]
- Passa per
[math](1; -2)[/math]
;
- Ha raggio
[math]\sqrt5[/math]
;
- Il centro appartiene alla retta
[math]x = y[/math]
.
Svolgimento (1)
Imponiamo il passaggio del fascio di circonferenze per il punto
[math](1; -2)[/math]
sostituendo le coordinate del punto alle variabili del fascio:
[math](1; -2) ∈ F [/math]
[math]1^2 + (-2)^2 - 2(k-1) + 2k(-2) + k - 4 = 0 [/math]
[math]1 + 4 - 2(k-1) - 4k + k - 4 = 0 [/math]
[math]1 + 4 - 2k + 2 - 4k + k - 4 = 0 [/math]
[math]3 - 5k = 0 \to k = 3/5 [/math]
Sostituiamo il valore di k al fascio per determinare l'equazione della circonferenza:
[math]x^2 + y^2 - 2( 3/5-1)x + 2 \cdot 3/5 y + 3/5 - 4 = 0 [/math]
Semplifichiamo:
[math]x^2 + y^2 - 2( - 2/5 )x + 6/5 y + - (17)/5 = 0 [/math]
[math]x^2 + y^2 + 4/5 x + 6/5 y + - (17)/5 = 0 [/math]
Svolgimento (2)
La formula del raggio della circonferenza è la seguente:
[math] r = \sqrt{(- a/2)^2 + (- b/2)^2 - c} [/math]
Sostituiamo i nostri valori:
[math] r = \sqrt{(- frac(-2(k-1))(2))^2 + (- (2k)/2)^2 - (k-4)} = [/math]
[math] \sqrt{(k-1)^2 + (-k)^2 - (k-4)} = \sqrt(k^2 + 1 - 2k + k^2 - k + 4) = \sqrt(2k^2 - 3k + 5) [/math]
Poiché il raggio deve essere uguale a
[math]\sqrt5[/math]
, poniamo che:
[math]\sqrt{2k^2 - 3k + 5} = \sqrt5[/math]
Determiniamo le condizioni di esistenza:
[math]C.E.[/math]
[math] 2k^2 - 3k + 5 ≥ 0 [/math]
Passiamo all'equazione associata:
[math]2k^2 - 3k + 5 = 0[/math]
[math] k = frac(3 \pm \sqrt{3^2 - 4 \cdot 2 \cdot 5})(2 \cdot 2) = frac(3 \pm \sqrt(9-40))(4) [/math]
Abbiamo un delta negativo, di conseguenza l'equazione associata è impossibile; la disequazione, invece, è maggiore di zero per qualunque valore di
[math]k[/math]
.
[math]\sqrt{2k^2 - 3k + 5} = \sqrt5[/math]
Eleviamo al quadrato entrambi i membri:
[math] (\sqrt{2k^2 - 3k + 5})^2 = (\sqrt5)^2[/math]
[math] 2k^2 - 3k + 5 = 5[/math]
[math] 2k^2 - 3k = 0 [/math]
[math] k (2k - 3) = 0 \to k = 0 ∨ k = 3/2[/math]
Troviamo ora le equazioni delle due circonferenze:
[math] k = 0 [/math]
[math]x^2 + y^2 - 2(0-1)x + 2 \cdot 0 y + 0 - 4 = 0 [/math]
[math]x^2 + y^2 + 2x - 4 = 0 [/math]
[math] k = 3/2 [/math]
[math]x^2 + y^2 - 2( 3/2 - 1)x + 2 \cdot 3/2 y + 3/2 - 4 = 0 [/math]
Semplifichiamo:
[math]x^2 + y^2 - 2( 1/2 )x + 3y - 5/2 = 0 [/math]
[math]x^2 + y^2 - x + 3y - 5/2 = 0 [/math]
Svolgimento (3)
Il centro della circonferenza è di coordinate
[math](-a/2 ; - b/2)[/math]
; poiché appartiene alla retta
[math]x = y[/math]
, sappiamo che le coordinate del centro cono uguali.
Determiniamo le coordinate del centro in funzione di
[math]k[/math]
:
[math] x_c = - a/2 = - frac(-2(k-1))(2) = k - 1 [/math]
[math] y_c = - b/2 = - frac (2k)(2) = - k [/math]
Sapendo che le due coordinate sono uguali, poniamo che:
[math] k - 1 = - k [/math]
[math] k + k = 1 \to k = 1/2 [/math]
Sostituiamo il valore di
[math]k[/math]
al fascio per determinare l'equazione della circonferenza:
[math]x^2 + y^2 - 2( 1/2 - 1)x + 2 \cdot 1/2 y + 1/2 - 4 = 0 [/math]
Semplifichiamo:
[math]x^2 + y^2 - 2( - 1/2 )x + y - 7/2 = 0 [/math]
[math]x^2 + y^2 + x + y - 7/2 = 0 [/math]
Rappresentiamo sul piano cartesiano il fascio di circonferenze:
