In un piano è dato un segmento AB di misura 4 rispetto ad una fissata unità  di misura u; trovare, rispetto ad un sistema di assi cartesiani ortogonali opportunamente scelto, l'equazione del luogo dei punti P di tale piano per cui il perimetro del triango

In un piano è dato un segmento AB di misura 4 rispetto ad una fissata unità di misura u;

ad un sistema di assi cartesiani ortogonali opportunamente scelto, l’equazione

trovare, rispetto

del luogo dei punti P di tale piano per cui il perimetro del triangolo ABP è 14u (si consiglia di

riconoscere di che luogo si tratta prima di fissare il sistema di riferimento cartesiano ortogonale).

Svolgimento a cura di Francesco Camia

P Il punto P deve soddisfare la condizione ed

essendo la misura di AB per ipotesi 4u, la condizione a cui deve sod-

disfare P diventa: , da cui si riconosce che il luo-

go in questione è l’ ellisse di fuochi A e B ed asse maggiore di mi-

A B sura 10u. Conviene pertanto assumere la retta AB, orientata da A ver-

so B, come asse x, il punto medio del segmento AB come origine O, la perpendicolare ad AB in O

come asse y; inoltre conviene tenere l’unità di misura u anche per il sistema d’assi cartesiani scelto.

y

A B x

La distanza dei fuochi (solitamente indicata con 2c) risulta 4, i fuochi dell’ellisse hanno coordinate

±2; l’asse maggiore si trova sull’asse x ed ha misura 10. L’equazione dell’ellisse sarà del tipo

( 0); 2 2 2

–

, con 2a = 10 e 2c = 4 ; ricordando che b = a c , risulta che , da

2 L’equazione del luogo, in base al sistema di

cui si ottiene a = 5, , da cui b = 21.

assi cartesiano ortogonali scelto, è dunque