[math]y[/math]
e passante per [math] B (0 ; 8)[/math]
e tangente in [math]A (- 4 ; 0)[/math]
all'asse [math]x[/math]
, determinare sull'arco [math]AB[/math]
di essa un punto [math]P[/math]
e sulla corda [math]AB[/math]
un punto [math]Q[/math]
, in modo che [math]P[/math]
e [math]Q[/math]
abbiano la stessa ascissa e risulti [math]PQ = frac(16)(9) [/math]
.
Svolgimento (prima parte)
Sappiamo che, poiché la parabola ha asse di simmetria parallelo all'asse[math]y[/math]
, la sua equazione sarà del tipo [math] y = ax^2 + bx + c[/math]
. Imponiamo il passaggio della parabola per i due punti assegnati:
[math] A ∈ P \to 0 = 16a - 4b + c [/math]
[math] B ∈ P \to 8 = c [/math]
Inoltre, poiché la parabola ha un solo punto in comune con l'asse
[math]x[/math]
, possiamo affermare che quel punto sarà sicuramente il suo vertice, quindi:
[math]- frac(b)(2a) = - 4 \to b = 8a [/math]
Mettiamo a sistema le tre equazioni:
[math][/math]
left{
egin{array}{ll}
16a - 4b + c = 0&\
c = 8&\
b = 8a &
end{array}
ight.
[math][/math]
left{
egin{array}{ll}
16a - 4b + c = 0&\
c = 8&\
b = 8a &
end{array}
ight.
[math][/math]
Sostituiamo
[math]b[/math]
e [math]c[/math]
alla prima equazione:
[math] 16 a - 4 \cdot 8a + 8 = 0 \to 16 a - 32a + 8 = 0 [/math]
[math] -16 a + 8 = 0 \to a = 1/2 [/math]
Sostituendo tale valore di
[math]a[/math]
nel sistema abbiamo:
[math][/math]
left{
egin{array}{ll}
a = frac{1}{2}&\
c = 8&\
b = 4 &
end{array}
ight.
[math][/math]
left{
egin{array}{ll}
a = frac{1}{2}&\
c = 8&\
b = 4 &
end{array}
ight.
[math][/math]
Possiamo scrivere l'equazione della parabola:
[math] y = 1/2 x^2 + 4x + 8 [/math]
Ora rappresentiamo la parabola nel piano cartesiano:
Svolgimento (seconda parte)
Sappiamo che il punto[math]Q[/math]
appartiene alla corda [math]AB[/math]
e che [math]P[/math]
appartiene alla parabola; in ogni caso, questi due punti, che hanno stessa ascissa, avranno:
[math] - 4 ≤ x_P = x_Q ≤ 0[/math]
Dal momento che
[math]P[/math]
appartiene alla parabola possiamo determinare le sue coordinate attraverso l'equazione della parabola:
[math] P (x ; 1/2 x^2 + 4x + 8 ) [/math]
Troviamo ora l'equazione della retta
[math]AB[/math]
:
[math] AB : frac(x - x_1)(x_2 - x_1) = frac(y - y_1)(y_2 - y_1) [/math]
[math] AB : frac(x - (-4))(0 - (-4)) = frac(y - 0)(8 - 0) [/math]
[math] AB : frac(x + 4)(4) = frac(y)(8) [/math]
[math] AB : 2x - y + 8 = 0 [/math]
Allo stesso modo, sapendo che il punto
[math]Q[/math]
appartiene a questa retta possiamo chiamare le sue coordinate in questo modo:
[math]Q (x ; 2x + 8) [/math]
Possiamo calcolare la distanza fra
[math]P[/math]
e [math]Q[/math]
, sapendo che in ogni caso il punto [math]Q[/math]
ha ordinata maggiore del punto [math]P[/math]
:
[math]PQ = y_Q - y_P = 2x + 8 - (1/2 x^2 + 4x + 8)[/math]
Sapendo che questa distanza deve essere uguale a
[math]frac(16)(9) [/math]
, possiamo impostare l'equazione:
[math]2x + 8 - (1/2 x^2 + 4x + 8) = frac(16)(9)[/math]
[math]2x + 8 - 1/2 x^2 - 4x - 8 = frac(16)(9)[/math]
[math] - 1/2 x^2 - 2x - frac(16)(9) = 0 [/math]
[math] frac (- 9x^2 - 36x - 32)(18) = 0 [/math]
[math] - 9x^2 - 36x - 32 = 0 \to 9x^2 + 36x + 32 = 0[/math]
[math] x = frac(-b/2 \pm \sqrt{(b/2)^2 - ac})(a) = frac(-(36)/2 \pm \sqrt(((36)/2)^2 - 9 \cdot 32))(9) = [/math]
[math] frac(-18 \pm \sqrt{18^2 - 9 \cdot 32})(9) = frac(-18 \pm \sqrt(324 - 288))(9) = frac(-18 \pm 6)(9) [/math]
Si ha quindi:
[math] x_1 = frac(-18 + 6)(9) = frac(-12)(9) = - 4/3 [/math]
[math] x_2 = frac(-18 - 6)(9) = frac(-24)(9) = - 8/3 [/math]
Abbiamo quindi due diverse ascisse; calcoliamo ora le ordinate dei punti:
[math] x_1 = - 4/3 [/math]
[math] y_P = 1/2 (- 4/3)^2 + 4 \cdot (- 4/3) + 8 = 1/2 \cdot (16)/9 - (16)/3 + 8 = [/math]
[math] 8/9 - (16)/3 + 8 = frac(8 - 48 + 72)(9) = frac(32)(9) [/math]
Quindi abbiamo il punto :
[math] P_1 ( - 4/3 ; frac(32)(9))[/math]
[math] y_Q = 2 \cdot (-4/3) + 8 = - 8/3 + 8 = frac(16)(3) [/math]
Quindi abbiamo il punto :
[math] Q_1 ( - 4/3 ; frac(16)(3))[/math]
Ripetiamo gli stessi passaggi per la seconda ascissa:
[math] x_2 = - 8/3 [/math]
[math] y_P = 1/2 (- 8/3)^2 + 4 \cdot (- 8/3) + 8 = 1/2 \cdot (64)/9 - (32)/3 + 8 = [/math]
[math] (32)/9 - (32)/3 + 8 = frac(32 - 96 + 72)(9) = frac(8)(9) [/math]
Quindi abbiamo il punto :
[math] P_2 ( - 8/3 ; frac(8)(9))[/math]
[math] y_Q = 2 \cdot (-8/3) + 8 = - (16)/3 + 8 = frac(8)(3) [/math]
Quindi abbiamo il punto :
[math] Q_2 ( - 8/3 ; frac(8)(3))[/math]
