Scrivere l'equazione della circonferenza passante per i punti
[math](0;0), (5;0), (0;-3)[/math]
. Svolgimento Indichiamo i tre punti
[math](0;0), (5;0), (0;-3)[/math]
con [math]A, B, C[/math]
Innanzi tutto occorre verificare che i tre punti dati non sono allineati. La condizione di allineamento di tre punti di coordinate [math](x_1;y_1);(x_2;y_2);(x_3;y_3)[/math]
è: [math](y_3-y_1)/(y_2-y_1)=(x_3-x_1)/(x_2-x_1)[/math]
Quindi occorrerà verificare che sia [math](y_3-y_1)/(y_2-y_1)!=(x_3-x_1)/(x_2-x_1)[/math]
, ovvero [math](3-0)/(0-0)!=(0)/(5-0) => -3/0!=0[/math]
. Essendo vera la relazione
[math]-3/0!=1[/math]
, resta verificato che i tre punti dati non sono allineati. Consideriamo ora l'equazione di una circonferenza generica [math]x^2+y^2+\alphax+\betay+\gamma=0[/math]
; se vogliamo che la curva passi per i punti [math]A,B,C[/math]
dobbiamo imporre che le coordinate di questi punti soddisfino la sudetta equazione; indicando con [math]\delta[/math]
la circonferenza cercata, avremo [math]A(0;0) in \delta => 0^2+0^2+(\alpha) \cdot 0+(\beta) \cdot 0+\gamma=0 => \gamma=0[/math]
. [math]B(5;0) in \delta => 5^2+0^2+(\alpha) \cdot 5+(\beta) \cdot 0+\gamma=0 => 5(\alpha)+\gamma+25=0[/math]
. [math]C(0;-3) in \delta => 0^2+(-3)^2+(\alpha) \cdot 0+(\beta) \cdot (-3)+\gamma=0 => -3(\beta)+\gamma+9=0[/math]
. Ponendo a sistema le tre condizioni trovate e risolvendo avremo
[math]\egin{cases} -3(\beta)+\gamma+9=0 \\ 5(\alpha)+\gamma+25=0 \\ \gamma=0 \ \end{cases}[/math]
; [math]\egin{cases} -3(\beta)=-9 \\ 5(\alpha)=-25 \\ \gamma=0 \ \end{cases}[/math]
; [math]\egin{cases} (\beta)=3 \\ (\alpha)=-5 \\ \gamma=0 \ \end{cases}[/math]
; Perciò sostituendo i valori trovati nell'aquazione generica si ha: [math]x^2+y^2-5x+3y=0[/math]
Quest'ultima rappresenta l'equazione della circonferenza passante per i punti
[math](0;0), (5;0), (0;-3)[/math]
.
