Scrivere l'equazione di un'ellisse riferita riferita ai propri assi di simmetria sapendo
che un suo asse misura[math]6[/math]
e che la distanza focale misura [math]4[/math]
.Verificare che il problema quattro soluzioni. Svolgimento
La distanza focale di un'ellisse riferita al centro e agli assi data dal valore di[math]2c[/math]
. Nel nostro caso [math]2c=4 => c=2[/math]
Supponiamo che [math]2a=6[/math]
, sia l'asse maggiore dell'ellisse, sapendo che [math]c^2=(a^2-b^2)[/math]
sostituendo i valori noti, [math]c=2[/math]
e [math]a=3[/math]
otteniamo [math]4=(9-b^2)[/math]
; [math]-5=-b^2[/math]
; [math]b^2=5 => b=\sqrt5[/math]
. Quindi [math]b=\sqrt5[/math]
individua il semiasse minore dell'ellisse e pertanto, ricordando l'equazione canonica [math](x^2)/(a^2)+(y^2)/(b^2)=1[/math]
si ha che per [math]a=3[/math]
e [math]b=\sqrt5[/math]
l'ellisse avr equazione [math](x^2)/9+(y^2)/(5)=1[/math]
oppure [math](x^2)/5+(y^2)/9=1[/math]
a secondo che i fuochi sono sull'asse [math]x[/math]
o [math]y[/math]
. Supponiamo ora che [math]2a=6[/math]
sia l'asse minore dell'ellisse e quindi sar [math]c^2=b^2-a^2[/math]
, ovvero [math]4=b^2-9 =>b^2=13 => b=\sqrt{13}[/math]
. Quindi [math]\sqrt{13}[/math]
indica il semiasse maggiore dell'ellisse e pertanto, ricordando l'equazione canonica [math](x^2)/(a^2)+(y^2)/(b^2)=1[/math]
si ha che per [math]a=3[/math]
e [math]b=\sqrt{13}[/math]
l'ellisse avr equazione [math](x^2)/9+(y^2)/(13)=1[/math]
oppure [math](x^2)/(13)+(y^2)/9=1[/math]
a secondo che i fuochi sono sull'asse [math]x[/math]
o [math]y[/math]
. Pertanto il problema ammette quattro soluzioni.
