Sono date cinque semirette  $a$ ,  $b$,  $c$ , $d$ ,  $e$, tutte di origine  $O$ , formanti i quattro angoli congruenti  $ab$,  $bc$ , $cd$ , $de$. Su tali semirette prendi rispettivamente i punti  …

Sono date cinque semirette  $a$ ,  $b$,  $c$ , $d$ ,  $e$, tutte di origine  $O$ , formanti i quattro angoli congruenti  $ab$,  $bc$ , $cd$ , $de$. Su tali semirette prendi rispettivamente i punti  $A$,  $B$ ,  $C$,  $D$ ,  $E$  in modo che sia  $OA = OB = OC = OD = OE $  .

Dimostra che  $AC = CE $  e   $AB = BC = CD = DE$.

 

 

 

Svolgimento

Consideriamo i triangoli  $AOE$ e  $AOB$. Essi hanno:

  • $EO = BO$ per ipotesi;
  • $AO$ in comune;
  • $\hat{EOA} = \hat{AOB}$ per ipotesi;

Quindi, per il primo criterio di congruenza dei triangoli, avendo due lati e l’angolo fra essi compreso congruente, i triangoli $AOE$ e  $AOB$ sono congruenti.

Possiamo dedurre quindi che  $AE = AB$.

Seguiamo lo stesso ragionamento per i triangoli  $BOC$,  $COD$ e  $DOE$, tutti tra loro congruenti per il primo criterio di congruenza, avendo due lati e l’angolo fra essi compreso congruente.

Abbiamo quindi dimostrato che  $AB = BC = CD = DE = EA$.

 

Ora consideriamo i triangoli  $AOC$ e  $EOC$; essi hanno:

  • $EO = AO $ per ipotesi;
  • $OC$ in comune;
  • $\hat{EOC} = \hat{AOC}$ perché somme di angoli congruenti;

Quindi, per il primo criterio di congruenza dei triangoli, avendo due lati e l’angolo fra essi compreso congruente, i triangoli $AOC$ e  $EOC$ sono congruenti.

In particolare risulta che  $AC = CE$.

 

 

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