Dato un segmento  $BC$  prendi, in uno stesso semipiano di origine  $BC$ , due punti  $A$  e  $A’$ , in modo che …

Dato un segmento  $BC$  prendi, in uno stesso semipiano di origine  $BC$ , due punti  $A$  e  $A’$ , in modo che sia  $ AB = A’C $ ,   $AC = A’B$  e  $AB > AC$  . Sia  $Q$  il punto d’intersezione dei segmenti  $AB$  e   $A’C$ . Dimostra che il triangolo  $BCQ$  è isoscele e che i due triangoli  $A’BQ$  e  $ACQ$  sono congruenti.

 

congruenza_triangoli

 

 

Svolgimento

Consideriamo i triangoli   $ACB$  e  $A’BC$ . Essi hanno:

  • $ A’B = AC $  per ipotesi;
  • $BC$  in comune;
  • $ AB = A’C $ , per ipotesi.

Di conseguenza, per il per il terzo criterio di congruenza dei triangoli, avendo tre lati congruenti, i triangoli $ACB$  e  $A’BC$  sono congruenti.

Si avrà quindi che  $\hat{QBC} = \hat{QCB}$  ,   $\hat{ACB} = \hat{A’BC}$ ,  $\hat{BA’C} = \hat{CAB}$  .

Il triangolo  $BCQ$  è quindi isoscele, perché avente gli angoli alla base congruenti  $( \hat{QBC} = \hat{QCB}) $ . Di conseguenza, esso avrà anche due lati congruenti:  $QB = QC $.

Ora consideriamo i triangoli  $A’BQ$  e  $ACQ$ . Essi hanno:

  • $\hat{BA’C} = \hat{CAB}$  per la precedente dimostrazione;
  • $\hat{A’BQ} = \hat{ACQ}$ perché differenze di angoli congruenti;
  • $A’B = AC $  per ipotesi.

Di conseguenza, per il per il secondo criterio di congruenza dei triangoli, avendo due angoli e il lato fra essi compreso congruenti, i triangoli $A’BQ$  e  $ACQ$ sono congruenti.

 

 

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