_francesca.ricci
di _francesca.ricci
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2' di lettura
Dato un segmento
[math]BC[/math]
prendi, in uno stesso semipiano di origine
[math]BC[/math]
, due punti
[math]A[/math]
e
[math]A'[/math]
, in modo che sia
[math] AB = A'C [/math]
,
[math]AC = A'B[/math]
e
[math]AB > AC[/math]
. Sia
[math]Q[/math]
il punto d'intersezione dei segmenti
[math]AB[/math]
e
[math]A'C[/math]
. Dimostra che il triangolo
[math]BCQ[/math]
è isoscele e che i due triangoli
[math]A'BQ[/math]
e
[math]ACQ[/math]
sono congruenti.

congruenza_triangoli

Svolgimento

Consideriamo i triangoli
[math]ACB[/math]
e
[math]A'BC[/math]
.
Essi hanno:
  • [math] A'B = AC [/math]
    per ipotesi;
  • [math]BC[/math]
    in comune;
  • [math] AB = A'C [/math]
    , per ipotesi.
Di conseguenza, per il per il terzo criterio di congruenza dei triangoli, avendo tre lati congruenti, i triangoli
[math]ACB[/math]
e
[math]A'BC[/math]
sono congruenti.

Si avrà quindi che

[math]hat{QBC} = hat{QCB}[/math]
,
[math]hat{ACB} = hat{A'BC}[/math]
,
[math]hat{BA'C} = hat{CAB}[/math]
.

Il triangolo

[math]BCQ[/math]
è quindi isoscele, perché avente gli angoli alla base congruenti
[math]( hat{QBC} = hat{QCB}) [/math]
. Di conseguenza, esso avrà anche due lati congruenti:
[math]QB = QC [/math]
.

Ora consideriamo i triangoli

[math]A'BQ[/math]
e
[math]ACQ[/math]
. Essi hanno:
  • [math]hat{BA'C} = hat{CAB}[/math]
    per la precedente dimostrazione;
  • [math]hat{A'BQ} = hat{ACQ}[/math]
    perché differenze di angoli congruenti;
  • [math]A'B = AC [/math]
    per ipotesi.
Di conseguenza, per il per il secondo criterio di congruenza dei triangoli, avendo due angoli e il lato fra essi compreso congruenti, i triangoli
[math]A'BQ[/math]
e
[math]ACQ[/math]
sono congruenti.
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