Determina su un segmento di lunghezza
[math]l[/math]
, un punto [math]P[/math]
che divide il segmento stesso in due parti tali che la differenza fra i quadrati costruiti su di esse sia equivalente alla quarta parte del quadrato di lato [math]l[/math]
. Segmento
[math]AB = l[/math]
[math]P[/math]
divide [math]AB[/math]
in [math]AP[/math]
e [math]PB[/math]
e definiamo
[math]AP[/math]
il piu' lungo tra i due.
Il problema dice che la differenza tra i quadrati dei segmenti (
[math]AP^2 - PB^2[/math]
) è equivalente a [math]1/4AB^2[/math]
Ora noi sappiamo che
[math]AB = l[/math]
(1)
[math]AP + PB = AB[/math]
quindi risulta essere
[math]AP + PB = l[/math]
(2) Segue inoltre, per quanto ci dice il problema
[math]AP^2 - PB^2 = 1/4AB^2[/math]
ovvero per la (1)
[math]AP^2 - PB^2 = 1/4l^2[/math]
(3) Applichiamo ora la differenza di due quadrati nella (3)
[math](AP - PB)(AP + PB) = 1/4l^2[/math]
per la (2)
[math](AP - PB) \cdot l = 1/4l^2[/math]
per
[math]l != 0[/math]
dovrà quindi necessariamente essere
[math]AP - PB = 1/4l[/math]
si è diviso per
[math]l[/math]
Perciò si ha il sistema
[math]\begin{cases} AP = 1/4l + PB \\ AP + PB =l \ \end{cases}[/math]
sostituiamo AP nella seconda equazione del sistema e avremo
[math]1/4l + PB + PB = l[/math]
[math]2PB = 3/4l[/math]
[math]PB = 3/8l[/math]
sotituiamo PB nell'altra equazione
[math]AP + 3/8l = l[/math]
[math]AP = 5/8l[/math]
quindi le due parti sono i 3/8 e i 5/8 di
[math]l[/math]
FINE
