Dimostra che in un triangolo rettangolo l’altezza relativa all’ipotenusa …..

Dimostra che in un triangolo rettangolo l’altezza relativa all’ipotenusa lo divide in due triangoli che hanno tra loro e col triangolo di partenza gli angoli ordinatamente congruenti.

 

Risoluzione

Essendo il triangolo  $ABC$  rettangolo, sappiamo che l’angolo in  $A$  è di  $90°$. Chiamiamo gli altri due angoli,  $B$ e $C$, rispettivamente  $ β $ e $ α$.

Conducendo l’altezza  $AH$ , notiamo che si formano due triangoli,  $AHC$ e $AHB$, anch’essi rettangoli, poiché l’altezza relativa all’ipotenusa cade perpendicolare su di essa.

Di conseguenza,  $ \hat {AHC} ≅ \hat{AHB} = 90°$ .

Consideriamo ora il triangolo  $AHB$. Esso ha un angolo di  $90°$  ( $\hat{AHB}$ ) , l’angolo $β$  in comune con il triangolo di partenza  $ABC$.

Avendo quindi due angoli congruenti, il terzo sarà per forza congruente.

Quindi, possiamo affermare che $ \hat {BAH} ≅ \hat{ACB} = α $ . I due triangoli sono quindi simili, per il primo criterio di similitudine dei triangoli.

Consideriamo ora l’altro triangolo,  $AHC$ . Anch’esso ha un angolo di 90° ( $\hat{AHC}$ ) e un angolo in comune con il triangolo di partenza  $ABC$ ,  l’angolo  $α $. Poiché i due triangoli hanno due angoli congruenti, anche il terzo sarà congruente. Quindi  $ \hat {CAH} ≅ \hat{ABC} = β $ .

Avendo tre angoli congruenti, anche i triangoli  $ABC$ e $AHC$ sono simili per il primo criterio di similitudine dei triangoli.

Ma poiché  $AHB$  è simile ad  $ABC$,  e  $AHC$  è simile ad  $ABC$, per la proprietà transitiva possiamo affermare che  $AHB$  e  $AHC$  sono simili fra di loro.

Tutti e tre i triangoli, quindi, hanno gli angoli ordinatamente congruenti.

 

 

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