Due triangoli isosceli  $ABC $ e  $BCD$ hanno in comune la base  $BC$  e i vertici  $A$  e  $D$  sono situati nello stesso semipiano di origine  $BC$ , in modo che il triangolo  $BCD$ sia contenuto in $ABC$ ….

Due triangoli isosceli  $ABC $ e  $BCD$ hanno in comune la base  $BC$  e i vertici  $A$  e  $D$  sono situati nello stesso semipiano di origine  $BC$ , in modo che il triangolo  $BCD$ sia contenuto in $ABC$ . Dimostra che la semiretta di origine  $A$  e passante per $D$  è la bisettrice degli angoli al vertice dei due triangoli.

 

 

Svolgimento

Consideriamo i triangoli $ADB$  e  $ADC$; essi hanno:

  • $AB = AC$ per ipotesi (poiché lati di un triangolo isoscele);
  • $\hat{ABD} = \hat{ACD}$  perché differenze di angoli congruenti;
  • $BD = CD$  per ipotesi (poiché lati di un triangolo isoscele);

Quindi, per il primo criterio di congruenza dei triangoli, avendo due lati e l’angolo fra essi compreso congruente, i triangoli  $ADB$  e  $ADC$  sono congruenti.

Essendo i due triangoli congruenti, si ha che  $\hat{BAH} = \hat{CAH}$  e  $\hat{ADB} = \hat{ADC}$.

Ora consideriamo i triangoli  $DBH$ e  $DCH$; possiamo affermare che  $\hat{BHD} = \hat{CDH}$ perché angoli supplementari di angoli congruenti;

Abbiamo quindi dimostrato che la semiretta di origine  $A$  e passante per  $D$ è la bisettrice degli angoli al vertice dei due triangoli.

 

 

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