Trapezio isoscele, problema svolto con le equazioni di primo grado

Questo appunto di geometria piana per la scuola secondaria di secondo grado, è dedicato ad uno dei quadrilateri più ricorrenti nei problemi sui poligoni, il trapezio isoscele. Rivediamo insieme la sua definizione, gli elementi che lo caratterizzano, e le sue proprietà. Nella trattazione svolgiamo un classico problema con applicazione delle equazioni di primo grado per determinare la misura degli angoli adiacenti alla base maggiore.

Trapezio Isoscele-proprietà e formule

Un trapezio per definizione è un quadrilatero che presenta solo due lati paralleli che vengono definiti basi, la più lunga è detta base maggiore B e l’altra base minore b, gli altri due lati sono genericamente detti lati obliqui. La distanza tra le basi è l’altezza h e il segmento che unisce due vertici opposti è la diagonale. Rispetto alle caratteristiche dei lati obliqui abbiamo tre tipi di trapezi:

• trapezio scaleno: se i lati obliqui non sono congruenti;
• trapezio rettangolo: se un lato obliquo è perpendicolare alle basi;
• trapezio isoscele: se i lati obliqui sono congruenti

Un trapezio isoscele dunque ha i lati obliqui congruenti ma anche gli angoli adiacenti a ciascuna base sono congruenti e le sue diagonali.

In figura è rappresentato un trapezio isoscele, scriviamo le relazioni esistenti tra lati ed angoli:

• lati obliqui congruenti
  [math]\to AD\cong BC[/math]
  ;
• angoli congruenti e adiacenti alla base maggiore
  [math]\to D\widehat {A}B\cong A\widehat {B}C\cong \alpha[/math]
  ;
• angoli congruenti e adiacenti alla base minore
  [math]\to C\widehat {D}A\cong B\widehat{C}D\cong \beta[/math]
• diagonali congruenti
  [math]\to AC\cong BD.[/math]

Teorema del trapezio isoscele e suo inverso

In un trapezio isoscele gli angoli adiacenti a ciascuna base sono congruenti.
Per dimostrare la congruenza degli angoli adiacenti alle due basi si tracciano le due altezze relative alla base maggiore AB dai vertici C e D, dette rispettivamente CH e DK e si considerano i due triangoli rettangoli AKD e CHB. I triangoli rettangoli AKD e HBC hanno:

per ipotesi;

per la deduzione precedente.

Quindi sono congruenti per il quarto criterio di congruenza dei triangoli rettangoli.
In particolare, sono congruenti gli angoli

.

L’angolo

è supplementare di , e l’angolo è supplementare di .
Quindi i due angoli , supplementari di due angoli congruenti, sono congruenti fra loro.
Dal teorema segue il corollario seguente: in un trapezio isoscele, gli angoli opposti sono supplementari.
L’inverso del teorema del trapezio isoscele afferma che: se in un trapezio gli angoli adiacenti a una delle basi sono congruenti, il trapezio è isoscele.
La dimostrazione del teorema inverso procede in maniera simile considerando sempre i due triangoli rettangoli AKD e HBC.
Infatti nei due triangoli:

• DK e CK sono congruenti perché lati opposti del rettangolo KHCD;
• [math]\widehat{A}\cong \widehat{B}[/math]
  per ipotesi del teorema stesso.

Quindi sono congruenti per il secondo criterio di congruenza dei triangoli rettangoli. In particolare, hanno le ipotenuse congruenti.
Il trapezio ABCD ha i lati obliqui AD e BC congruenti, quindi è isoscele.
Per dimostrare la congruenza delle diagonali AC e BD, si considerano invece i triangoli ABD e BAC, questi sono congruenti per il primo criterio di congruenza dei triangoli, da ciò deriva la congruenza delle diagonali.

Problema con equazioni di primo grado

Proponiamo lo svolgimento di un problema di geometria sul trapezio utilizzando le equazioni di primo grado.

Testo del problema
È dato un trapezio isoscele ABCD. Si conosce la relazione tra gli angoli adiacenti al lato obliquo, essi sono uno il doppio dell'altro. Determinare la misura degli angoli interni del trapezio e di quelli esterni.

Svolgimento
Nel trapezio isoscele come in tutti quadrilateri la somma delle ampiezze dei loro angoli interni è di 360°. La regola generale dice che la somma delle ampiezze degli angoli interni è uguale al numero dei lati meno due, moltiplicato per 180°. Se noi tracciamo una diagonale nel trapezio rimane diviso in due triangoli e in ciascuno di questi la somma degli angoli interni è pari a 180°. La somma degli angoli interni dipende quindi dal numero dei lati.
La somma degli angoli esterni di un poligono non dipende dal numero dei lati ma è sempre pari a due angoli piatti, quindi sempre 360°.
Risolviamo il problema utilizzando una equazione lineare di primo grado.
Gli angoli adiacenti al lato obliquo si trovano anche uno sulla base maggiore e l'altro sulla base minore.
Indichiamo con

l'angolo adiacente alla base maggiore, quello adiacente alla base minore, essendo il doppio, sarà .

Poiché sappiamo che la somma degli angoli interni è pari a 360°, imponiamo che la somma di tutti gli angoli abbia questo valore:

abbiamo scritto la nostra equazione lineare nella incognita

, ed ora risolviamo:

Abbiamo trovato il valore di ciascuno degli angoli adiacenti alla base maggiore gli angoli in A e in B misurano ciascuno 60°.
Gli angoli adiacenti alla base minore, essendo il doppio, misurano 120° ciascuno.
Per quanto riguarda la misura degli angoli esterni, sappiamo che ogni angolo interno e supplementare al suo esterno. Questo significa che gli angoli esterni degli angoli adiacenti alla base maggiore sono entrambi di 120°, mentre quelli esterni agli angoli adiacenti alla base minore sono di 60°.

Per ulteriori approfondimenti sul trapezio isoscele vedi anche qui