Le bisettrici degli angoli opposti B e D di un parallelogramma intersecano la retta AD …..

Le bisettrici degli angoli opposti  $B$ e $D$ di un parallelogramma intersecano la retta  $AD$  in $E$ e la retta $BC$ in $F$. Dimostra che  $BEDF$  è un parallelogramma e che  $AC$  e  $EF$  si tagliano scambievolmente a metà.

 

 

Svolgimento

Per determinare che il quadrilatero $DEFB$  è un parallelogramma, è necessario dimostrare che i suoi angoli opposti siano congruenti.

Consideriamo i triangoli  $ DCF$  e  $BAE$ . Essi hanno:

  •  $\hat{ABE} ≡ \hat{CDF}$ , poiché angoli generati dalla bisettrice, che divide gli angoli opposti del parallelogramma ABCD (che sono congruenti) in due angoli anch’essi congruenti;
  • $\bar{AB} ≡ \bar{DC}$ perché lati opposti del parallelogramma  $ABCD$;
  • $ \hat{BAE} ≡ \hat{DCF}$ perché angoli opposti del parallelogramma  $ABCD$.

Quindi, per il secondo criterio di congruenza dei triangoli, avendo due angoli e il lato fra essi compreso congruenti, $DCF$ e  $ BAE$  sono congruenti. Di conseguenza, possiamo affermare che  $ \hat{BEA} ≡ \hat{CFD}$ , poiché angoli opposti a lati congruenti.

Inoltre, poiché  $ \hat{CBE} ≡ \hat{ADF}$  (angoli generati dalle bisettrici), avremo anche che  $ \hat{FBE} ≡ \hat{FDE}$  perché angoli supplementari di angolo congruenti.

Di conseguenza, il quadrilatero DFBE, avendo gli angoli opposti congruenti, è un parallelogramma.

 

Consideriamo ora i triangoli  $AEO$  e  $FCO$ ; essi hanno:

  •  $ \hat{OAE} ≡ \hat{OCF}$   perché angoli alterni interni formati dalle parallele $AE$  e  $CF$  tagliate dalla trasversale  $AC$;
  •  $ \hat{AEO} ≡ \hat{CFO}$   perché angoli alterni interni formati dalle parallele  $BF$ e $DE$ tagliate dalla trasversale  $EF$;
  •  $\bar{AE} ≡ \bar{FC}$  perché segmenti dati dalla somma di segmenti congruenti: ($\bar{AE} = \bar{AD} + \bar{DE}  ,  \bar{FC} = \bar{BC} + \bar{BF}  $ )

Di conseguenza, i triangoli $AEO$ e $FCO$, avendo due angoli e il lato fra essi compreso congruenti, cono congruenti per i secondo criterio di congruenza dei triangoli. Quindi,   $\bar{AO} ≡ \bar{OC}$    e   $\bar{EO} ≡ \bar{OF}$   perché lati opposti ad angoli congruenti.

Abbiamo quindi dimostrato che  $AC$  e  $EF$   si tagliano scambievolmente a metà.

 

 

Commenti

commenti