_francesca.ricci
di _francesca.ricci
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3' di lettura
Le bisettrici degli angoli opposti
[math]B[/math]
e
[math]D[/math]
di un parallelogramma intersecano la retta
[math]AD[/math]
in
[math]E[/math]
e la retta
[math]BC[/math]
in
[math]F[/math]
. Dimostra che
[math]BEDF[/math]
è un parallelogramma e che
[math]AC[/math]
e
[math]EF[/math]
si tagliano scambievolmente a metà.

Svolgimento

Per determinare che il quadrilatero
[math]DEFB[/math]
è un parallelogramma, è necessario dimostrare che i suoi angoli opposti siano congruenti.

Consideriamo i triangoli

[math] DCF[/math]
e
[math]BAE[/math]
.
Essi hanno:
  • [math]\hat{ABE} ≡ \hat{CDF}[/math]
    , poiché angoli generati dalla bisettrice, che divide gli angoli opposti del parallelogramma ABCD (che sono congruenti) in due angoli anch’essi congruenti;
  • [math]\bar{AB} ≡ \bar{DC}[/math]
    perché lati opposti del parallelogramma
    [math]ABCD[/math]
    ;
  • [math] \hat{BAE} ≡ \hat{DCF}[/math]
    perché angoli opposti del parallelogramma
    [math]ABCD[/math]
    .
Quindi, per il secondo criterio di congruenza dei triangoli, avendo due angoli e il lato fra essi compreso congruenti,
[math]DCF[/math]
e
[math] BAE[/math]
sono congruenti. Di conseguenza, possiamo affermare che
[math] \hat{BEA} ≡ \hat{CFD}[/math]
, poiché angoli opposti a lati congruenti.

Inoltre, poiché

[math] \hat{CBE} ≡ \hat{ADF}[/math]
(angoli generati dalle bisettrici), avremo anche che
[math] \hat{FBE} ≡ \hat{FDE}[/math]
perché angoli supplementari di angolo congruenti.

Di conseguenza, il quadrilatero

[math]DFBE[/math]
, avendo gli angoli opposti congruenti, è un parallelogramma.

Consideriamo ora i triangoli

[math]AEO[/math]
e
[math]FCO[/math]
; essi hanno:
  • [math] \hat{OAE} ≡ \hat{OCF}[/math]
    perché angoli alterni interni formati dalle parallele
    [math]AE[/math]
    e
    [math]CF[/math]
    tagliate dalla trasversale
    [math]AC[/math]
    ;
  • [math] \hat{AEO} ≡ \hat{CFO}[/math]
    perché angoli alterni interni formati dalle parallele
    [math]BF[/math]
    e
    [math]DE[/math]
    tagliate dalla trasversale
    [math]EF[/math]
    ;
  • [math]\bar{AE} ≡ \bar{FC}[/math]
    perché segmenti dati dalla somma di segmenti congruenti: (
    [math]\bar{AE} = \bar{AD} + \bar{DE} , \bar{FC} = \bar{BC} + \bar{BF} [/math]
    )
Di conseguenza, i triangoli
[math]AEO[/math]
e
[math]FCO[/math]
, avendo due angoli e il lato fra essi compreso congruenti, cono congruenti per i secondo criterio di congruenza dei triangoli. Quindi,
[math]\bar{AO} ≡ \bar{OC}[/math]
e
[math]\bar{EO} ≡ \bar{OF}[/math]
perché lati opposti ad angoli congruenti.

Abbiamo quindi dimostrato che

[math]AC[/math]
e
[math]EF[/math]
si tagliano scambievolmente a metà.
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