Prolunga la mediana $\bar{AM}$ di un triangolo $ABC$ di un segmento $\bar{MD}$ congruente a $\bar{AM}$, dimostra che $ABDC$ è un parallelogramma.

Prolunga la mediana $\bar{AM}$ di un triangolo $ABC$ di un segmento $\bar{MD}$ congruente a $\bar{AM}$, dimostra che $ABDC$ è un parallelogramma.

 

Svolgimento

Per dimostrare che un quadrilatero è un parallelogramma, si deve dimostrare che i suoi lati opposti siano congruenti.

Per farlo, prendiamo in considerazione i triangoli $ACM$ e $BMD$ ; essi hanno:

 

  • AMC BMD perché angoli opposti al vertice;
  • CM MB perché segmenti creati da una mediana;
  • AM MD per ipotesi.

 

Quindi, avendo due lati e l’angolo fra essi compreso congruenti, per il primo criterio di congruenza dei triangoli, $ACM$ e $BMD$ sono congruenti.

Possiamo quindi affermare che AC BD, perché lati opposti ad angoli congruenti.

Con un ragionamento analogo, dimostriamo che AB CD considerando i triangoli $AMB$ e $CMD$ ; essi hanno:

 

  • AMB CMD perché angoli opposti al vertice;
  • CM MB perché segmenti creati da una mediana;
  • AM MD per ipotesi.

 

Quindi, avendo due lati e l’angolo fra essi compreso congruenti, per il primo criterio di congruenza dei triangoli, $AMB$ e $CMD$ sono congruenti.

Possiamo quindi affermare che anche AB CD , perché lati opposti ad angoli congruenti.

Di conseguenza, il quadrilatero $ABCD$, avendo i lati opposti congruenti, è un parallelogramma.

 

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